Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12412 / 20604
↖ ↑ ↗
← S 42.000325°
W 43.637695°		 ← 907.85 m → S 42.000325°
W 43.626709°		 →
↑
907.80 m
↓
↑
907.80 m
↓
S 42.008489°
W 43.637695°		 ← 907.73 m →
824 097 m²		 S 42.008489°
W 43.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378799438476562 y=0.628799438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378799438476562 × 215)
    floor (0.378799438476562 × 32768)
    floor (12412.5)     		tx = 12412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628799438476562 × 215)
    floor (0.628799438476562 × 32768)
    floor (20604.5)     		ty = 20604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12412 / 20604 ti = "15/12412/20604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12412/20604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12412 ÷ 215
    12412 ÷ 32768     		x = 0.3787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20604 ÷ 215
    20604 ÷ 32768     		y = 0.6287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809174865586548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76162146} λ = -0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809174865586548))-π/2
    2×atan(0.44522528540424)-π/2
    2×0.418876183032895-π/2
    0.83775236606579-1.57079632675     		φ = -0.73304396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73304396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.000325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12412 KachelY 20604 -0.76162146 -0.73304396 -43.637695 -42.000325
    Oben rechts KachelX + 1 12413 KachelY 20604 -0.76142971 -0.73304396 -43.626709 -42.000325
    Unten links KachelX 12412 KachelY + 1 20605 -0.76162146 -0.73318645 -43.637695 -42.008489
    Unten rechts KachelX + 1 12413 KachelY + 1 20605 -0.76142971 -0.73318645 -43.626709 -42.008489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73304396--0.73318645) × R
    0.000142489999999995 × 6371000     		dl = 907.803789999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73304396--0.73318645) × R
    0.000142489999999995 × 6371000     		dr = 907.803789999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76162146--0.76142971) × cos(-0.73304396) × R
    0.000191749999999935 × 0.743141028709716 × 6371000     		do = 907.850248956858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76162146--0.76142971) × cos(-0.73318645) × R
    0.000191749999999935 × 0.743045676144954 × 6371000     		du = 907.733762521157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73304396)-sin(-0.73318645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743141028709716-0.743045676144954)×R²
    abs(-0.76142971--0.76162146)×9.53525647617859e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53525647617859e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53525647617859e-05×40589641000000     		ar = 824097.024736504m²