Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12415 / 12415
↖ ↑ ↗
← S 67.600849°
E 92.790528°		 ← 931 m → S 67.600849°
E 92.812500°		 →
↑
930.80 m
↓
↑
930.80 m
↓
S 67.609220°
E 92.790528°		 ← 930.67 m →
866 427 m²		 S 67.609220°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757781982421875 y=0.757781982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757781982421875 × 214)
    floor (0.757781982421875 × 16384)
    floor (12415.5)     		tx = 12415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757781982421875 × 214)
    floor (0.757781982421875 × 16384)
    floor (12415.5)     		ty = 12415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12415 / 12415 ti = "14/12415/12415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12415/12415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12415 ÷ 214
    12415 ÷ 16384     		x = 0.75775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12415 ÷ 214
    12415 ÷ 16384     		y = 0.75775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75775146484375 × 2 - 1) × π
    0.5155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61950022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61950022} λ = 1.61950022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61950021676398))-π/2
    2×atan(0.197997630255859)-π/2
    2×0.195469465024128-π/2
    0.390938930048255-1.57079632675     		φ = -1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61950022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.790528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12415 KachelY 12415 1.61950022 -1.17985740 92.790528 -67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 12416 KachelY 12415 1.61988371 -1.17985740 92.812500 -67.600849
    Unten links KachelX 12415 KachelY + 1 12416 1.61950022 -1.18000350 92.790528 -67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 12416 KachelY + 1 12416 1.61988371 -1.18000350 92.812500 -67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17985740--1.18000350) × R
    0.000146100000000038 × 6371000     		dl = 930.803100000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17985740--1.18000350) × R
    0.000146100000000038 × 6371000     		dr = 930.803100000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61950022-1.61988371) × cos(-1.17985740) × R
    0.000383490000000153 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 931.003290288649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61950022-1.61988371) × cos(-1.18000350) × R
    0.000383490000000153 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 930.673258227193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17985740)-sin(-1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.380921588243505)×R²
    abs(1.61988371-1.61950022)×0.000135081067291709×R²
    0.000383490000000153×0.000135081067291709×6371000²
    0.000383490000000153×0.000135081067291709×40589641000000     		ar = 866427.152818681m²