Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12415 / 20863
↖ ↑ ↗
← S 44.079693°
W 43.604736°		 ← 877.59 m → S 44.079693°
W 43.593750°		 →
↑
877.54 m
↓
↑
877.54 m
↓
S 44.087585°
W 43.604736°		 ← 877.48 m →
770 073 m²		 S 44.087585°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378890991210938 y=0.636703491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378890991210938 × 215)
    floor (0.378890991210938 × 32768)
    floor (12415.5)     		tx = 12415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636703491210938 × 215)
    floor (0.636703491210938 × 32768)
    floor (20863.5)     		ty = 20863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12415 / 20863 ti = "15/12415/20863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12415/20863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12415 ÷ 215
    12415 ÷ 32768     		x = 0.378875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20863 ÷ 215
    20863 ÷ 32768     		y = 0.636688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.27337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858837493592926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76104622} λ = -0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858837493592926))-π/2
    2×atan(0.4236542969956)-π/2
    2×0.400730272953772-π/2
    0.801460545907544-1.57079632675     		φ = -0.76933578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76933578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.079693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12415 KachelY 20863 -0.76104622 -0.76933578 -43.604736 -44.079693
    Oben rechts KachelX + 1 12416 KachelY 20863 -0.76085447 -0.76933578 -43.593750 -44.079693
    Unten links KachelX 12415 KachelY + 1 20864 -0.76104622 -0.76947352 -43.604736 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 12416 KachelY + 1 20864 -0.76085447 -0.76947352 -43.593750 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76933578--0.76947352) × R
    0.000137739999999997 × 6371000     		dl = 877.541539999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76933578--0.76947352) × R
    0.000137739999999997 × 6371000     		dr = 877.541539999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(-0.76933578) × R
    0.000191750000000046 × 0.718372898158289 × 6371000     		do = 877.59252852663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(-0.76947352) × R
    0.000191750000000046 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 877.47546277158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76933578)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718372898158289-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.76085447--0.76104622)×9.5826779509256e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5826779509256e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5826779509256e-05×40589641000000     		ar = 770072.535161623m²