Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12415 / 28801
↖ ↑ ↗
← S 79.434385°
W 43.604736°		 ← 224 m → S 79.434385°
W 43.593750°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 79.436400°
W 43.604736°		 ← 223.96 m →
50 173 m²		 S 79.436400°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378890991210938 y=0.878952026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378890991210938 × 215)
    floor (0.378890991210938 × 32768)
    floor (12415.5)     		tx = 12415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878952026367188 × 215)
    floor (0.878952026367188 × 32768)
    floor (28801.5)     		ty = 28801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12415 / 28801 ti = "15/12415/28801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12415/28801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12415 ÷ 215
    12415 ÷ 32768     		x = 0.378875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28801 ÷ 215
    28801 ÷ 32768     		y = 0.878936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.75787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38092993032895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76104622} λ = -0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38092993032895))-π/2
    2×atan(0.0924645519264538)-π/2
    2×0.0922023809847883-π/2
    0.184404761969577-1.57079632675     		φ = -1.38639156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38639156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.434385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12415 KachelY 28801 -0.76104622 -1.38639156 -43.604736 -79.434385
    Oben rechts KachelX + 1 12416 KachelY 28801 -0.76085447 -1.38639156 -43.593750 -79.434385
    Unten links KachelX 12415 KachelY + 1 28802 -0.76104622 -1.38642672 -43.604736 -79.436400
    Unten rechts KachelX + 1 12416 KachelY + 1 28802 -0.76085447 -1.38642672 -43.593750 -79.436400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38639156--1.38642672) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dl = 224.00435999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38639156--1.38642672) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dr = 224.00435999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(-1.38639156) × R
    0.000191750000000046 × 0.183361424681352 × 6371000     		do = 224.001513326712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76104622--0.76085447) × cos(-1.38642672) × R
    0.000191750000000046 × 0.183326860685865 × 6371000     		du = 223.959288593188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38639156)-sin(-1.38642672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183361424681352-0.183326860685865)×R²
    abs(-0.76085447--0.76104622)×3.45639954869581e-05×R²
    0.000191750000000046×3.45639954869581e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.45639954869581e-05×40589641000000     		ar = 50172.5863747729m²