Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12416 / 4224
↖ ↑ ↗
← N 65.366837°
E 92.812500°		 ← 1 018.38 m → N 65.366837°
E 92.834473°		 →
↑
1 018.60 m
↓
↑
1 018.60 m
↓
N 65.357677°
E 92.812500°		 ← 1 018.73 m →
1 037 494 m²		 N 65.357677°
E 92.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757843017578125 y=0.257843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757843017578125 × 214)
    floor (0.757843017578125 × 16384)
    floor (12416.5)     		tx = 12416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257843017578125 × 214)
    floor (0.257843017578125 × 16384)
    floor (4224.5)     		ty = 4224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12416 / 4224 ti = "14/12416/4224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12416/4224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12416 ÷ 214
    12416 ÷ 16384     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4224 ÷ 214
    4224 ÷ 16384     		y = 0.2578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2578125 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52170894153906))-π/2
    2×atan(4.58004554105781)-π/2
    2×1.35583142608043-π/2
    2.71166285216086-1.57079632675     		φ = 1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12416 KachelY 4224 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 12417 KachelY 4224 1.62026721 1.14086653 92.834473 65.366837
    Unten links KachelX 12416 KachelY + 1 4225 1.61988371 1.14070665 92.812500 65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 12417 KachelY + 1 4225 1.62026721 1.14070665 92.834473 65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14086653-1.14070665) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dl = 1018.59548000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14086653-1.14070665) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dr = 1018.59548000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62026721) × cos(1.14086653) × R
    0.00038349999999987 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 1018.3755551004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62026721) × cos(1.14070665) × R
    0.00038349999999987 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 1018.73062404741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14086653)-sin(1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416952313887981)×R²
    abs(1.62026721-1.61988371)×0.000145324794945723×R²
    0.00038349999999987×0.000145324794945723×6371000²
    0.00038349999999987×0.000145324794945723×40589641000000     		ar = 1037493.57539007m²