Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12417 / 20864
↖ ↑ ↗
← S 44.087585°
W 43.582763°		 ← 877.43 m → S 44.087585°
W 43.571778°		 →
↑
877.41 m
↓
↑
877.41 m
↓
S 44.095476°
W 43.582763°		 ← 877.31 m →
769 818 m²		 S 44.095476°
W 43.571778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378952026367188 y=0.636734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378952026367188 × 215)
    floor (0.378952026367188 × 32768)
    floor (12417.5)     		tx = 12417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636734008789062 × 215)
    floor (0.636734008789062 × 32768)
    floor (20864.5)     		ty = 20864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12417 / 20864 ti = "15/12417/20864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12417/20864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12417 ÷ 215
    12417 ÷ 32768     		x = 0.378936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20864 ÷ 215
    20864 ÷ 32768     		y = 0.63671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.24212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76066272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63671875 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76066272} λ = -0.76066272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859029241191406))-π/2
    2×atan(0.423573070089346)-π/2
    2×0.400661404408348-π/2
    0.801322808816697-1.57079632675     		φ = -0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76066272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.582763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12417 KachelY 20864 -0.76066272 -0.76947352 -43.582763 -44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 12418 KachelY 20864 -0.76047098 -0.76947352 -43.571778 -44.087585
    Unten links KachelX 12417 KachelY + 1 20865 -0.76066272 -0.76961124 -43.582763 -44.095476
    Unten rechts KachelX + 1 12418 KachelY + 1 20865 -0.76047098 -0.76961124 -43.571778 -44.095476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76947352--0.76961124) × R
    0.000137720000000008 × 6371000     		dl = 877.41412000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76947352--0.76961124) × R
    0.000137720000000008 × 6371000     		dr = 877.41412000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76066272--0.76047098) × cos(-0.76947352) × R
    0.000191739999999996 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 877.429701339132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76066272--0.76047098) × cos(-0.76961124) × R
    0.000191739999999996 × 0.718181244889019 × 6371000     		du = 877.312642043157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76947352)-sin(-0.76961124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.718181244889019)×R²
    abs(-0.76047098--0.76066272)×9.58264897608085e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58264897608085e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58264897608085e-05×40589641000000     		ar = 769817.855739846m²