Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12417 / 4223
N 65.375994°
E 92.834473°
← 1 017.99 m → N 65.375994°
E 92.856445°

1 018.15 m

1 018.15 m
N 65.366837°
E 92.834473°
← 1 018.35 m →
1 036 651 m²
N 65.366837°
E 92.856445°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757904052734375 y=0.257781982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757904052734375 × 214)
    floor (0.757904052734375 × 16384)
    floor (12417.5)
    tx = 12417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257781982421875 × 214)
    floor (0.257781982421875 × 16384)
    floor (4223.5)
    ty = 4223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12417 / 4223 ti = "14/12417/4223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12417/4223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12417 ÷ 214
    12417 ÷ 16384
    x = 0.75787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4223 ÷ 214
    4223 ÷ 16384
    y = 0.25775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.75787353515625 × 2 - 1) × π
    0.5157470703125 × 3.1415926535
    Λ = 1.62026721
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.25775146484375 × 2 - 1) × π
    0.4844970703125 × 3.1415926535
    Φ = 1.52209243673602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62026721} λ = 1.62026721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52209243673602))-π/2
    2×atan(4.58180230335809)-π/2
    2×1.35591133389154-π/2
    2.71182266778307-1.57079632675
    φ = 1.14102634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62026721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14102634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.375994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12417 KachelY 4223 1.62026721 1.14102634 92.834473 65.375994
    Oben rechts KachelX + 1 12418 KachelY 4223 1.62065070 1.14102634 92.856445 65.375994
    Unten links KachelX 12417 KachelY + 1 4224 1.62026721 1.14086653 92.834473 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 12418 KachelY + 1 4224 1.62065070 1.14086653 92.856445 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.14102634-1.14086653) × R
    0.000159809999999982 × 6371000
    dl = 1018.14950999989m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.14102634-1.14086653) × R
    0.000159809999999982 × 6371000
    dr = 1018.14950999989m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.62026721-1.62065070) × cos(1.14102634) × R
    0.000383490000000153 × 0.416661717278144 × 6371000
    do = 1017.99407008116m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.62026721-1.62065070) × cos(1.14086653) × R
    0.000383490000000153 × 0.416806989093035 × 6371000
    du = 1018.34900032788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.14102634)-sin(1.14086653))×
    abs(λ12)×abs(0.416661717278144-0.416806989093035)×
    abs(1.62065070-1.62026721)×0.000145271814891434×
    0.000383490000000153×0.000145271814891434×6371000²
    0.000383490000000153×0.000145271814891434×40589641000000
    ar = 1036650.85187199m²