Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12418 / 20606
↖ ↑ ↗
← S 42.016652°
W 43.571778°		 ← 907.62 m → S 42.016652°
W 43.560791°		 →
↑
907.49 m
↓
↑
907.49 m
↓
S 42.024813°
W 43.571778°		 ← 907.50 m →
823 596 m²		 S 42.024813°
W 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378982543945312 y=0.628860473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378982543945312 × 215)
    floor (0.378982543945312 × 32768)
    floor (12418.5)     		tx = 12418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628860473632812 × 215)
    floor (0.628860473632812 × 32768)
    floor (20606.5)     		ty = 20606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12418 / 20606 ti = "15/12418/20606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12418/20606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12418 ÷ 215
    12418 ÷ 32768     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20606 ÷ 215
    20606 ÷ 32768     		y = 0.62884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.809558360783508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809558360783508))-π/2
    2×atan(0.44505457638086)-π/2
    2×0.418733705808651-π/2
    0.837467411617303-1.57079632675     		φ = -0.73332892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73332892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.016652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12418 KachelY 20606 -0.76047098 -0.73332892 -43.571778 -42.016652
    Oben rechts KachelX + 1 12419 KachelY 20606 -0.76027923 -0.73332892 -43.560791 -42.016652
    Unten links KachelX 12418 KachelY + 1 20607 -0.76047098 -0.73347136 -43.571778 -42.024813
    Unten rechts KachelX + 1 12419 KachelY + 1 20607 -0.76027923 -0.73347136 -43.560791 -42.024813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73332892--0.73347136) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dl = 907.485239999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73332892--0.73347136) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dr = 907.485239999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76027923) × cos(-0.73332892) × R
    0.000191750000000046 × 0.74295032188077 × 6371000     		do = 907.617274009901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76027923) × cos(-0.73347136) × R
    0.000191750000000046 × 0.742854972619975 × 6371000     		du = 907.500791610454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73332892)-sin(-0.73347136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74295032188077-0.742854972619975)×R²
    abs(-0.76027923--0.76047098)×9.53492607955742e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53492607955742e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53492607955742e-05×40589641000000     		ar = 823596.428096295m²