Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12418 / 28802
↖ ↑ ↗
← S 79.436400°
W 43.571778°		 ← 223.96 m → S 79.436400°
W 43.560791°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 79.438414°
W 43.571778°		 ← 223.92 m →
50 149 m²		 S 79.438414°
W 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378982543945312 y=0.878982543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378982543945312 × 215)
    floor (0.378982543945312 × 32768)
    floor (12418.5)     		tx = 12418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878982543945312 × 215)
    floor (0.878982543945312 × 32768)
    floor (28802.5)     		ty = 28802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12418 / 28802 ti = "15/12418/28802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12418/28802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12418 ÷ 215
    12418 ÷ 32768     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28802 ÷ 215
    28802 ÷ 32768     		y = 0.87896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38112167792743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38112167792743))-π/2
    2×atan(0.0924468237703973)-π/2
    2×0.0921848030855678-π/2
    0.184369606171136-1.57079632675     		φ = -1.38642672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38642672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.436400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12418 KachelY 28802 -0.76047098 -1.38642672 -43.571778 -79.436400
    Oben rechts KachelX + 1 12419 KachelY 28802 -0.76027923 -1.38642672 -43.560791 -79.436400
    Unten links KachelX 12418 KachelY + 1 28803 -0.76047098 -1.38646187 -43.571778 -79.438414
    Unten rechts KachelX + 1 12419 KachelY + 1 28803 -0.76027923 -1.38646187 -43.560791 -79.438414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38642672--1.38646187) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38642672--1.38646187) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76027923) × cos(-1.38642672) × R
    0.000191750000000046 × 0.183326860685865 × 6371000     		do = 223.959288593188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76027923) × cos(-1.38646187) × R
    0.000191750000000046 × 0.183292306294329 × 6371000     		du = 223.917075592228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38642672)-sin(-1.38646187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183326860685865-0.183292306294329)×R²
    abs(-0.76027923--0.76047098)×3.4554391535796e-05×R²
    0.000191750000000046×3.4554391535796e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.4554391535796e-05×40589641000000     		ar = 50148.8620623854m²