Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12420 / 20868
↖ ↑ ↗
← S 44.119141°
W 43.549805°		 ← 877.01 m → S 44.119141°
W 43.538818°		 →
↑
876.97 m
↓
↑
876.97 m
↓
S 44.127028°
W 43.549805°		 ← 876.89 m →
769 056 m²		 S 44.127028°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379043579101562 y=0.636856079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379043579101562 × 215)
    floor (0.379043579101562 × 32768)
    floor (12420.5)     		tx = 12420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636856079101562 × 215)
    floor (0.636856079101562 × 32768)
    floor (20868.5)     		ty = 20868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12420 / 20868 ti = "15/12420/20868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12420/20868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12420 ÷ 215
    12420 ÷ 32768     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20868 ÷ 215
    20868 ÷ 32768     		y = 0.6368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859796231585327))-π/2
    2×atan(0.423248318170185)-π/2
    2×0.400386022098691-π/2
    0.800772044197383-1.57079632675     		φ = -0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12420 KachelY 20868 -0.76008748 -0.77002428 -43.549805 -44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 12421 KachelY 20868 -0.75989573 -0.77002428 -43.538818 -44.119141
    Unten links KachelX 12420 KachelY + 1 20869 -0.76008748 -0.77016193 -43.549805 -44.127028
    Unten rechts KachelX + 1 12421 KachelY + 1 20869 -0.75989573 -0.77016193 -43.538818 -44.127028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77002428--0.77016193) × R
    0.000137649999999989 × 6371000     		dl = 876.968149999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77002428--0.77016193) × R
    0.000137649999999989 × 6371000     		dr = 876.968149999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.77002428) × R
    0.000191750000000046 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 877.007203385755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-0.77016193) × R
    0.000191750000000046 × 0.717797935019961 × 6371000     		du = 876.890130989544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77002428)-sin(-0.77016193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717797935019961)×R²
    abs(-0.75989573--0.76008748)×9.58322157798008e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58322157798008e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58322157798008e-05×40589641000000     		ar = 769056.051522806m²