Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12420 / 28804
↖ ↑ ↗
← S 79.440427°
W 43.549805°		 ← 223.87 m → S 79.440427°
W 43.538818°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 79.442440°
W 43.549805°		 ← 223.83 m →
50 116 m²		 S 79.442440°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379043579101562 y=0.879043579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379043579101562 × 215)
    floor (0.379043579101562 × 32768)
    floor (12420.5)     		tx = 12420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879043579101562 × 215)
    floor (0.879043579101562 × 32768)
    floor (28804.5)     		ty = 28804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12420 / 28804 ti = "15/12420/28804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12420/28804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12420 ÷ 215
    12420 ÷ 32768     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28804 ÷ 215
    28804 ÷ 32768     		y = 0.8790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38150517312439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38150517312439))-π/2
    2×atan(0.0924113776546491)-π/2
    2×0.0921496572257766-π/2
    0.184299314451553-1.57079632675     		φ = -1.38649701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38649701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.440427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12420 KachelY 28804 -0.76008748 -1.38649701 -43.549805 -79.440427
    Oben rechts KachelX + 1 12421 KachelY 28804 -0.75989573 -1.38649701 -43.538818 -79.440427
    Unten links KachelX 12420 KachelY + 1 28805 -0.76008748 -1.38653215 -43.549805 -79.442440
    Unten rechts KachelX + 1 12421 KachelY + 1 28805 -0.75989573 -1.38653215 -43.538818 -79.442440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38649701--1.38653215) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dl = 223.876940000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38649701--1.38653215) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dr = 223.876940000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-1.38649701) × R
    0.000191750000000046 × 0.18325776150698 × 6371000     		do = 223.87487432412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75989573) × cos(-1.38653215) × R
    0.000191750000000046 × 0.183223216493341 × 6371000     		du = 223.832672779567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38649701)-sin(-1.38653215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18325776150698-0.183223216493341)×R²
    abs(-0.75989573--0.76008748)×3.45450136389203e-05×R²
    0.000191750000000046×3.45450136389203e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.45450136389203e-05×40589641000000     		ar = 50115.6978353756m²