Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12420 / 4228
↖ ↑ ↗
← N 65.330178°
E 92.900390°		 ← 1 019.80 m → N 65.330178°
E 92.922363°		 →
↑
1 020 m
↓
↑
1 020 m
↓
N 65.321005°
E 92.900390°		 ← 1 020.15 m →
1 040 371 m²		 N 65.321005°
E 92.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758087158203125 y=0.258087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758087158203125 × 214)
    floor (0.758087158203125 × 16384)
    floor (12420.5)     		tx = 12420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258087158203125 × 214)
    floor (0.258087158203125 × 16384)
    floor (4228.5)     		ty = 4228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12420 / 4228 ti = "14/12420/4228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12420/4228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12420 ÷ 214
    12420 ÷ 16384     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4228 ÷ 214
    4228 ÷ 16384     		y = 0.258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258056640625 × 2 - 1) × π
    0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52017496075122))-π/2
    2×atan(4.57302522508193)-π/2
    2×1.35551151615594-π/2
    2.71102303231188-1.57079632675     		φ = 1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12420 KachelY 4228 1.62141769 1.14022671 92.900390 65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 12421 KachelY 4228 1.62180119 1.14022671 92.922363 65.330178
    Unten links KachelX 12420 KachelY + 1 4229 1.62141769 1.14006661 92.900390 65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 12421 KachelY + 1 4229 1.62180119 1.14006661 92.922363 65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14022671-1.14006661) × R
    0.000160099999999996 × 6371000     		dl = 1019.99709999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14022671-1.14006661) × R
    0.000160099999999996 × 6371000     		dr = 1019.99709999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62180119) × cos(1.14022671) × R
    0.000383500000000092 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 1019.79634069315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62180119) × cos(1.14006661) × R
    0.000383500000000092 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 1020.1517938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14022671)-sin(1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.417533978954816)×R²
    abs(1.62180119-1.62141769)×0.000145482026238264×R²
    0.000383500000000092×0.000145482026238264×6371000²
    0.000383500000000092×0.000145482026238264×40589641000000     		ar = 1040370.59288813m²