Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12422 / 20614
↖ ↑ ↗
← S 42.081917°
W 43.527832°		 ← 906.69 m → S 42.081917°
W 43.516846°		 →
↑
906.66 m
↓
↑
906.66 m
↓
S 42.090070°
W 43.527832°		 ← 906.57 m →
822 000 m²		 S 42.090070°
W 43.516846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379104614257812 y=0.629104614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379104614257812 × 215)
    floor (0.379104614257812 × 32768)
    floor (12422.5)     		tx = 12422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629104614257812 × 215)
    floor (0.629104614257812 × 32768)
    floor (20614.5)     		ty = 20614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12422 / 20614 ti = "15/12422/20614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12422/20614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12422 ÷ 215
    12422 ÷ 32768     		x = 0.37908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20614 ÷ 215
    20614 ÷ 32768     		y = 0.62908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.2418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75970399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.2581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81109234157135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75970399} λ = -0.75970399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81109234157135))-π/2
    2×atan(0.444372394571815)-π/2
    2×0.418164162612871-π/2
    0.836328325225742-1.57079632675     		φ = -0.73446800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75970399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.527832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73446800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.081917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12422 KachelY 20614 -0.75970399 -0.73446800 -43.527832 -42.081917
    Oben rechts KachelX + 1 12423 KachelY 20614 -0.75951224 -0.73446800 -43.516846 -42.081917
    Unten links KachelX 12422 KachelY + 1 20615 -0.75970399 -0.73461031 -43.527832 -42.090070
    Unten rechts KachelX + 1 12423 KachelY + 1 20615 -0.75951224 -0.73461031 -43.516846 -42.090070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73446800--0.73461031) × R
    0.000142309999999979 × 6371000     		dl = 906.657009999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73446800--0.73461031) × R
    0.000142309999999979 × 6371000     		dr = 906.657009999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75970399--0.75951224) × cos(-0.73446800) × R
    0.000191750000000046 × 0.742187400774348 × 6371000     		do = 906.685259641642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75970399--0.75951224) × cos(-0.73461031) × R
    0.000191750000000046 × 0.742092018177818 × 6371000     		du = 906.568736517954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73446800)-sin(-0.73461031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742187400774348-0.742092018177818)×R²
    abs(-0.75951224--0.75970399)×9.53825965298583e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53825965298583e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53825965298583e-05×40589641000000     		ar = 821999.72465121m²