Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12423 / 20615
↖ ↑ ↗
← S 42.090070°
W 43.516846°		 ← 906.57 m → S 42.090070°
W 43.505859°		 →
↑
906.47 m
↓
↑
906.47 m
↓
S 42.098222°
W 43.516846°		 ← 906.45 m →
821 721 m²		 S 42.098222°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379135131835938 y=0.629135131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379135131835938 × 215)
    floor (0.379135131835938 × 32768)
    floor (12423.5)     		tx = 12423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629135131835938 × 215)
    floor (0.629135131835938 × 32768)
    floor (20615.5)     		ty = 20615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12423 / 20615 ti = "15/12423/20615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12423/20615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12423 ÷ 215
    12423 ÷ 32768     		x = 0.379119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20615 ÷ 215
    20615 ÷ 32768     		y = 0.629119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75951224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.25823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81128408916983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75951224} λ = -0.75951224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81128408916983))-π/2
    2×atan(0.444287195400954)-π/2
    2×0.418093010859227-π/2
    0.836186021718453-1.57079632675     		φ = -0.73461031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75951224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.516846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73461031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.090070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12423 KachelY 20615 -0.75951224 -0.73461031 -43.516846 -42.090070
    Oben rechts KachelX + 1 12424 KachelY 20615 -0.75932049 -0.73461031 -43.505859 -42.090070
    Unten links KachelX 12423 KachelY + 1 20616 -0.75951224 -0.73475259 -43.516846 -42.098222
    Unten rechts KachelX + 1 12424 KachelY + 1 20616 -0.75932049 -0.73475259 -43.505859 -42.098222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73461031--0.73475259) × R
    0.00014228000000005 × 6371000     		dl = 906.465880000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73461031--0.73475259) × R
    0.00014228000000005 × 6371000     		dr = 906.465880000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75951224--0.75932049) × cos(-0.73461031) × R
    0.000191749999999935 × 0.742092018177818 × 6371000     		do = 906.568736517429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75951224--0.75932049) × cos(-0.73475259) × R
    0.000191749999999935 × 0.741996640664448 × 6371000     		du = 906.452219603529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73461031)-sin(-0.73475259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742092018177818-0.741996640664448)×R²
    abs(-0.75932049--0.75951224)×9.53775133700763e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53775133700763e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53775133700763e-05×40589641000000     		ar = 821720.819611086m²