Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12424 / 20600
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
W 43.505859°		 ← 908.32 m → S 41.967659°
W 43.494873°		 →
↑
908.25 m
↓
↑
908.25 m
↓
S 41.975827°
W 43.505859°		 ← 908.20 m →
824 925 m²		 S 41.975827°
W 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379165649414062 y=0.628677368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379165649414062 × 215)
    floor (0.379165649414062 × 32768)
    floor (12424.5)     		tx = 12424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628677368164062 × 215)
    floor (0.628677368164062 × 32768)
    floor (20600.5)     		ty = 20600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12424 / 20600 ti = "15/12424/20600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12424/20600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12424 ÷ 215
    12424 ÷ 32768     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20600 ÷ 215
    20600 ÷ 32768     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12424 KachelY 20600 -0.75932049 -0.73247383 -43.505859 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 12425 KachelY 20600 -0.75912874 -0.73247383 -43.494873 -41.967659
    Unten links KachelX 12424 KachelY + 1 20601 -0.75932049 -0.73261639 -43.505859 -41.975827
    Unten rechts KachelX + 1 12425 KachelY + 1 20601 -0.75912874 -0.73261639 -43.494873 -41.975827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73261639) × R
    0.000142560000000014 × 6371000     		dl = 908.249760000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73261639) × R
    0.000142560000000014 × 6371000     		dr = 908.249760000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(-0.73247383) × R
    0.000191750000000046 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 908.316149229107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(-0.73261639) × R
    0.000191750000000046 × 0.743427062748227 × 6371000     		du = 908.199679365665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73261639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.743427062748227)×R²
    abs(-0.75912874--0.75932049)×9.5338999170469e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5338999170469e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5338999170469e-05×40589641000000     		ar = 824925.03407613m²