Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12424 / 20616
↖ ↑ ↗
← S 42.098222°
W 43.505859°		 ← 906.45 m → S 42.098222°
W 43.494873°		 →
↑
906.40 m
↓
↑
906.40 m
↓
S 42.106374°
W 43.505859°		 ← 906.34 m →
821 557 m²		 S 42.106374°
W 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379165649414062 y=0.629165649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379165649414062 × 215)
    floor (0.379165649414062 × 32768)
    floor (12424.5)     		tx = 12424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629165649414062 × 215)
    floor (0.629165649414062 × 32768)
    floor (20616.5)     		ty = 20616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12424 / 20616 ti = "15/12424/20616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12424/20616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12424 ÷ 215
    12424 ÷ 32768     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20616 ÷ 215
    20616 ÷ 32768     		y = 0.629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.25830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811475836768311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811475836768311))-π/2
    2×atan(0.444202012565264)-π/2
    2×0.41802186824999-π/2
    0.836043736499979-1.57079632675     		φ = -0.73475259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73475259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.098222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12424 KachelY 20616 -0.75932049 -0.73475259 -43.505859 -42.098222
    Oben rechts KachelX + 1 12425 KachelY 20616 -0.75912874 -0.73475259 -43.494873 -42.098222
    Unten links KachelX 12424 KachelY + 1 20617 -0.75932049 -0.73489486 -43.505859 -42.106374
    Unten rechts KachelX + 1 12425 KachelY + 1 20617 -0.75912874 -0.73489486 -43.494873 -42.106374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73475259--0.73489486) × R
    0.00014227 × 6371000     		dl = 906.402169999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73475259--0.73489486) × R
    0.00014227 × 6371000     		dr = 906.402169999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(-0.73475259) × R
    0.000191750000000046 × 0.741996640664448 × 6371000     		do = 906.452219604054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75912874) × cos(-0.73489486) × R
    0.000191750000000046 × 0.741901254835488 × 6371000     		du = 906.335692531502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73475259)-sin(-0.73489486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741996640664448-0.741901254835488)×R²
    abs(-0.75912874--0.75932049)×9.53858289604037e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53858289604037e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53858289604037e-05×40589641000000     		ar = 821557.45004067m²