Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12426 / 20618
↖ ↑ ↗
← S 42.114524°
W 43.483886°		 ← 906.17 m → S 42.114524°
W 43.472901°		 →
↑
906.15 m
↓
↑
906.15 m
↓
S 42.122673°
W 43.483886°		 ← 906.06 m →
821 072 m²		 S 42.122673°
W 43.472901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379226684570312 y=0.629226684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379226684570312 × 215)
    floor (0.379226684570312 × 32768)
    floor (12426.5)     		tx = 12426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629226684570312 × 215)
    floor (0.629226684570312 × 32768)
    floor (20618.5)     		ty = 20618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12426 / 20618 ti = "15/12426/20618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12426/20618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12426 ÷ 215
    12426 ÷ 32768     		x = 0.37921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20618 ÷ 215
    20618 ÷ 32768     		y = 0.62921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75893699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.811859331965271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75893699} λ = -0.75893699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811859331965271))-π/2
    2×atan(0.444031695886866)-π/2
    2×0.417879610465796-π/2
    0.835759220931593-1.57079632675     		φ = -0.73503711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75893699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.483886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73503711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.114524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12426 KachelY 20618 -0.75893699 -0.73503711 -43.483886 -42.114524
    Oben rechts KachelX + 1 12427 KachelY 20618 -0.75874525 -0.73503711 -43.472901 -42.114524
    Unten links KachelX 12426 KachelY + 1 20619 -0.75893699 -0.73517934 -43.483886 -42.122673
    Unten rechts KachelX + 1 12427 KachelY + 1 20619 -0.75874525 -0.73517934 -43.472901 -42.122673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73503711--0.73517934) × R
    0.00014222999999991 × 6371000     		dl = 906.147329999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73503711--0.73517934) × R
    0.00014222999999991 × 6371000     		dr = 906.147329999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75893699--0.75874525) × cos(-0.73503711) × R
    0.000191739999999996 × 0.741805867402181 × 6371000     		do = 906.171903046968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75893699--0.75874525) × cos(-0.73517934) × R
    0.000191739999999996 × 0.741710478372791 × 6371000     		du = 906.05537814188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73503711)-sin(-0.73517934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741805867402181-0.741710478372791)×R²
    abs(-0.75874525--0.75893699)×9.53890293906579e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53890293906579e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53890293906579e-05×40589641000000     		ar = 821072.457484943m²