Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12431 / 20625
↖ ↑ ↗
← S 42.171546°
W 43.428955°		 ← 905.40 m → S 42.171546°
W 43.417969°		 →
↑
905.38 m
↓
↑
905.38 m
↓
S 42.179688°
W 43.428955°		 ← 905.29 m →
819 684 m²		 S 42.179688°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379379272460938 y=0.629440307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379379272460938 × 215)
    floor (0.379379272460938 × 32768)
    floor (12431.5)     		tx = 12431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629440307617188 × 215)
    floor (0.629440307617188 × 32768)
    floor (20625.5)     		ty = 20625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12431 / 20625 ti = "15/12431/20625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12431/20625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12431 ÷ 215
    12431 ÷ 32768     		x = 0.379364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20625 ÷ 215
    20625 ÷ 32768     		y = 0.629425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75797826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.25885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813201565154633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75797826} λ = -0.75797826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813201565154633))-π/2
    2×atan(0.443436101610139)-π/2
    2×0.417381996308636-π/2
    0.834763992617272-1.57079632675     		φ = -0.73603233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75797826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73603233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.171546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12431 KachelY 20625 -0.75797826 -0.73603233 -43.428955 -42.171546
    Oben rechts KachelX + 1 12432 KachelY 20625 -0.75778651 -0.73603233 -43.417969 -42.171546
    Unten links KachelX 12431 KachelY + 1 20626 -0.75797826 -0.73617444 -43.428955 -42.179688
    Unten rechts KachelX + 1 12432 KachelY + 1 20626 -0.75778651 -0.73617444 -43.417969 -42.179688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73603233--0.73617444) × R
    0.000142109999999973 × 6371000     		dl = 905.382809999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73603233--0.73617444) × R
    0.000142109999999973 × 6371000     		dr = 905.382809999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(-0.73603233) × R
    0.000191750000000046 × 0.741138091000486 × 6371000     		do = 905.403381636483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75797826--0.75778651) × cos(-0.73617444) × R
    0.000191750000000046 × 0.741042677597335 × 6371000     		du = 905.286820878218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73603233)-sin(-0.73617444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741138091000486-0.741042677597335)×R²
    abs(-0.75778651--0.75797826)×9.54134031508902e-05×R²
    0.000191750000000046×9.54134031508902e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.54134031508902e-05×40589641000000     		ar = 819683.893175214m²