Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12432 / 20592
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
W 43.417969°		 ← 909.25 m → S 41.902277°
W 43.406982°		 →
↑
909.14 m
↓
↑
909.14 m
↓
S 41.910453°
W 43.417969°		 ← 909.13 m →
826 582 m²		 S 41.910453°
W 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379409790039062 y=0.628433227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379409790039062 × 215)
    floor (0.379409790039062 × 32768)
    floor (12432.5)     		tx = 12432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628433227539062 × 215)
    floor (0.628433227539062 × 32768)
    floor (20592.5)     		ty = 20592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12432 / 20592 ti = "15/12432/20592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12432/20592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12432 ÷ 215
    12432 ÷ 32768     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20592 ÷ 215
    20592 ÷ 32768     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12432 KachelY 20592 -0.75778651 -0.73133270 -43.417969 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 12433 KachelY 20592 -0.75759476 -0.73133270 -43.406982 -41.902277
    Unten links KachelX 12432 KachelY + 1 20593 -0.75778651 -0.73147540 -43.417969 -41.910453
    Unten rechts KachelX + 1 12433 KachelY + 1 20593 -0.75759476 -0.73147540 -43.406982 -41.910453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73147540) × R
    0.000142700000000051 × 6371000     		dl = 909.141700000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73147540) × R
    0.000142700000000051 × 6371000     		dr = 909.141700000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.73133270) × R
    0.000191749999999935 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 909.247773702758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.73147540) × R
    0.000191749999999935 × 0.744189692192751 × 6371000     		du = 909.131337427775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73147540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.744189692192751)×R²
    abs(-0.75759476--0.75778651)×9.53115045901898e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53115045901898e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53115045901898e-05×40589641000000     		ar = 826582.13957119m²