Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12432 / 20624
↖ ↑ ↗
← S 42.163403°
W 43.417969°		 ← 905.52 m → S 42.163403°
W 43.406982°		 →
↑
905.45 m
↓
↑
905.45 m
↓
S 42.171546°
W 43.417969°		 ← 905.40 m →
819 847 m²		 S 42.171546°
W 43.406982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379409790039062 y=0.629409790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379409790039062 × 215)
    floor (0.379409790039062 × 32768)
    floor (12432.5)     		tx = 12432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629409790039062 × 215)
    floor (0.629409790039062 × 32768)
    floor (20624.5)     		ty = 20624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12432 / 20624 ti = "15/12432/20624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12432/20624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12432 ÷ 215
    12432 ÷ 32768     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20624 ÷ 215
    20624 ÷ 32768     		y = 0.62939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813009817556152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813009817556152))-π/2
    2×atan(0.443521137570162)-π/2
    2×0.41745305660638-π/2
    0.834906113212761-1.57079632675     		φ = -0.73589021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73589021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.163403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12432 KachelY 20624 -0.75778651 -0.73589021 -43.417969 -42.163403
    Oben rechts KachelX + 1 12433 KachelY 20624 -0.75759476 -0.73589021 -43.406982 -42.163403
    Unten links KachelX 12432 KachelY + 1 20625 -0.75778651 -0.73603233 -43.417969 -42.171546
    Unten rechts KachelX + 1 12433 KachelY + 1 20625 -0.75759476 -0.73603233 -43.406982 -42.171546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73589021--0.73603233) × R
    0.000142120000000023 × 6371000     		dl = 905.446520000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73589021--0.73603233) × R
    0.000142120000000023 × 6371000     		dr = 905.446520000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.73589021) × R
    0.000191749999999935 × 0.741233496148639 × 6371000     		do = 905.519932309595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75759476) × cos(-0.73603233) × R
    0.000191749999999935 × 0.741138091000486 × 6371000     		du = 905.403381635959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73589021)-sin(-0.73603233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741233496148639-0.741138091000486)×R²
    abs(-0.75759476--0.75778651)×9.54051481530938e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54051481530938e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54051481530938e-05×40589641000000     		ar = 819847.107679705m²