Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12448 / 20640
↖ ↑ ↗
← S 42.293564°
W 43.242188°		 ← 903.65 m → S 42.293564°
W 43.231201°		 →
↑
903.60 m
↓
↑
903.60 m
↓
S 42.301691°
W 43.242188°		 ← 903.54 m →
816 489 m²		 S 42.301691°
W 43.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379898071289062 y=0.629898071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379898071289062 × 215)
    floor (0.379898071289062 × 32768)
    floor (12448.5)     		tx = 12448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629898071289062 × 215)
    floor (0.629898071289062 × 32768)
    floor (20640.5)     		ty = 20640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12448 / 20640 ti = "15/12448/20640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12448/20640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12448 ÷ 215
    12448 ÷ 32768     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20640 ÷ 215
    20640 ÷ 32768     		y = 0.6298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    -0.259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816077779131836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816077779131836))-π/2
    2×atan(0.442162516925715)-π/2
    2×0.416317189627603-π/2
    0.832634379255207-1.57079632675     		φ = -0.73816195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73816195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.293564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12448 KachelY 20640 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
    Oben rechts KachelX + 1 12449 KachelY 20640 -0.75452680 -0.73816195 -43.231201 -42.293564
    Unten links KachelX 12448 KachelY + 1 20641 -0.75471855 -0.73830378 -43.242188 -42.301691
    Unten rechts KachelX + 1 12449 KachelY + 1 20641 -0.75452680 -0.73830378 -43.231201 -42.301691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73816195--0.73830378) × R
    0.000141830000000009 × 6371000     		dl = 903.59893000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73816195--0.73830378) × R
    0.000141830000000009 × 6371000     		dr = 903.59893000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75452680) × cos(-0.73816195) × R
    0.000191749999999935 × 0.739706685496696 × 6371000     		do = 903.654720489863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75452680) × cos(-0.73830378) × R
    0.000191749999999935 × 0.739611236475906 × 6371000     		du = 903.538116219692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73816195)-sin(-0.73830378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739706685496696-0.739611236475906)×R²
    abs(-0.75452680--0.75471855)×9.54490207900616e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54490207900616e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54490207900616e-05×40589641000000     		ar = 816488.758145664m²