Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12448 / 4256
↖ ↑ ↗
← N 65.072130°
E 93.515625°		 ← 1 029.76 m → N 65.072130°
E 93.537597°		 →
↑
1 029.94 m
↓
↑
1 029.94 m
↓
N 65.062868°
E 93.515625°		 ← 1 030.12 m →
1 060 770 m²		 N 65.062868°
E 93.537597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759796142578125 y=0.259796142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759796142578125 × 214)
    floor (0.759796142578125 × 16384)
    floor (12448.5)     		tx = 12448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259796142578125 × 214)
    floor (0.259796142578125 × 16384)
    floor (4256.5)     		ty = 4256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12448 / 4256 ti = "14/12448/4256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12448/4256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12448 ÷ 214
    12448 ÷ 16384     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4256 ÷ 214
    4256 ÷ 16384     		y = 0.259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259765625 × 2 - 1) × π
    0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50943709523633))-π/2
    2×atan(4.5241833930257)-π/2
    2×1.35325962402831-π/2
    2.70651924805661-1.57079632675     		φ = 1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12448 KachelY 4256 1.63215556 1.13572292 93.515625 65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 12449 KachelY 4256 1.63253905 1.13572292 93.537597 65.072130
    Unten links KachelX 12448 KachelY + 1 4257 1.63215556 1.13556126 93.515625 65.062868
    Unten rechts KachelX + 1 12449 KachelY + 1 4257 1.63253905 1.13556126 93.537597 65.062868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13572292-1.13556126) × R
    0.000161660000000063 × 6371000     		dl = 1029.9358600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13572292-1.13556126) × R
    0.000161660000000063 × 6371000     		dr = 1029.9358600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63253905) × cos(1.13572292) × R
    0.000383490000000153 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 1029.7587683476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63253905) × cos(1.13556126) × R
    0.000383490000000153 × 0.421623564756106 × 6371000     		du = 1030.11692922505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13572292)-sin(1.13556126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421623564756106)×R²
    abs(1.63253905-1.63215556)×0.000146594101721464×R²
    0.000383490000000153×0.000146594101721464×6371000²
    0.000383490000000153×0.000146594101721464×40589641000000     		ar = 1060769.92634597m²