Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1247 / 351
↖ ↑ ↗
← N 75.541112°
E 39.199219°		 ← 4 880.34 m → N 75.541112°
E 39.375000°		 →
↑
4 887.58 m
↓
↑
4 887.58 m
↓
N 75.497157°
E 39.199219°		 ← 4 894.86 m →
23 888 522 m²		 N 75.497157°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609130859375 y=0.171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609130859375 × 211)
    floor (0.609130859375 × 2048)
    floor (1247.5)     		tx = 1247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171630859375 × 211)
    floor (0.171630859375 × 2048)
    floor (351.5)     		ty = 351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1247 / 351 ti = "11/1247/351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1247/351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1247 ÷ 211
    1247 ÷ 2048     		x = 0.60888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 351 ÷ 211
    351 ÷ 2048     		y = 0.17138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60888671875 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17138671875 × 2 - 1) × π
    0.6572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06473814043506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68415543} λ = 0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06473814043506))-π/2
    2×atan(7.88323332730353)-π/2
    2×1.4446187307668-π/2
    2.8892374615336-1.57079632675     		φ = 1.31844113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31844113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.541112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1247 KachelY 351 0.68415543 1.31844113 39.199219 75.541112
    Oben rechts KachelX + 1 1248 KachelY 351 0.68722339 1.31844113 39.375000 75.541112
    Unten links KachelX 1247 KachelY + 1 352 0.68415543 1.31767397 39.199219 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 1248 KachelY + 1 352 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31844113-1.31767397) × R
    0.0007671600000001 × 6371000     		dl = 4887.57636000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31844113-1.31767397) × R
    0.0007671600000001 × 6371000     		dr = 4887.57636000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68415543-0.68722339) × cos(1.31844113) × R
    0.00306795999999998 × 0.249685250406381 × 6371000     		do = 4880.34120289097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68415543-0.68722339) × cos(1.31767397) × R
    0.00306795999999998 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 4894.85972174922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31844113)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249685250406381-0.250428038638996)×R²
    abs(0.68722339-0.68415543)×0.000742788232614616×R²
    0.00306795999999998×0.000742788232614616×6371000²
    0.00306795999999998×0.000742788232614616×40589641000000     		ar = 23888521.6483654m²