Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1248 / 1888
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 39.375000°		 ← 2 746.22 m → S 81.923187°
E 39.550781°		 →
↑
2 742.01 m
↓
↑
2 742.01 m
↓
S 81.947846°
E 39.375000°		 ← 2 737.89 m →
7 518 758 m²		 S 81.947846°
E 39.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609619140625 y=0.922119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609619140625 × 211)
    floor (0.609619140625 × 2048)
    floor (1248.5)     		tx = 1248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.922119140625 × 211)
    floor (0.922119140625 × 2048)
    floor (1888.5)     		ty = 1888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1248 / 1888 ti = "11/1248/1888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1248/1888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1248 ÷ 211
    1248 ÷ 2048     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1888 ÷ 211
    1888 ÷ 2048     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1248 KachelY 1888 0.68722339 -1.42982934 39.375000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 1249 KachelY 1888 0.69029135 -1.42982934 39.550781 -81.923187
    Unten links KachelX 1248 KachelY + 1 1889 0.68722339 -1.43025973 39.375000 -81.947846
    Unten rechts KachelX + 1 1249 KachelY + 1 1889 0.69029135 -1.43025973 39.550781 -81.947846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.43025973) × R
    0.000430390000000003 × 6371000     		dl = 2742.01469000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.43025973) × R
    0.000430390000000003 × 6371000     		dr = 2742.01469000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.69029135) × cos(-1.42982934) × R
    0.00306795999999998 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 2746.22046882571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.69029135) × cos(-1.43025973) × R
    0.00306795999999998 × 0.14007444125881 × 6371000     		du = 2737.89126924667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.43025973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.14007444125881)×R²
    abs(0.69029135-0.68722339)×0.000426133787806593×R²
    0.00306795999999998×0.000426133787806593×6371000²
    0.00306795999999998×0.000426133787806593×40589641000000     		ar = 7518757.58975214m²