Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1248 / 480
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E 39.375000°		 ← 7 113.91 m → N 68.656555°
E 39.550781°		 →
↑
7 124.12 m
↓
↑
7 124.12 m
↓
N 68.592486°
E 39.375000°		 ← 7 134.26 m →
50 752 789 m²		 N 68.592486°
E 39.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609619140625 y=0.234619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609619140625 × 211)
    floor (0.609619140625 × 2048)
    floor (1248.5)     		tx = 1248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234619140625 × 211)
    floor (0.234619140625 × 2048)
    floor (480.5)     		ty = 480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1248 / 480 ti = "11/1248/480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1248/480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1248 ÷ 211
    1248 ÷ 2048     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 480 ÷ 211
    480 ÷ 2048     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1248 KachelY 480 0.68722339 1.19828294 39.375000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 1249 KachelY 480 0.69029135 1.19828294 39.550781 68.656555
    Unten links KachelX 1248 KachelY + 1 481 0.68722339 1.19716473 39.375000 68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 1249 KachelY + 1 481 0.69029135 1.19716473 39.550781 68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19716473) × R
    0.00111821000000001 × 6371000     		dl = 7124.11591000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19716473) × R
    0.00111821000000001 × 6371000     		dr = 7124.11591000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.69029135) × cos(1.19828294) × R
    0.00306795999999998 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 7113.90521817411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.69029135) × cos(1.19716473) × R
    0.00306795999999998 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 7134.25825217023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.364998876943627)×R²
    abs(0.69029135-0.68722339)×0.00104129038904915×R²
    0.00306795999999998×0.00104129038904915×6371000²
    0.00306795999999998×0.00104129038904915×40589641000000     		ar = 50752789.32209m²