Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12480 / 20417
↖ ↑ ↗
← S 40.455307°
W 42.890625°		 ← 929.51 m → S 40.455307°
W 42.879639°		 →
↑
929.47 m
↓
↑
929.47 m
↓
S 40.463666°
W 42.890625°		 ← 929.40 m →
863 895 m²		 S 40.463666°
W 42.879639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380874633789062 y=0.623092651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380874633789062 × 215)
    floor (0.380874633789062 × 32768)
    floor (12480.5)     		tx = 12480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623092651367188 × 215)
    floor (0.623092651367188 × 32768)
    floor (20417.5)     		ty = 20417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12480 / 20417 ti = "15/12480/20417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12480/20417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12480 ÷ 215
    12480 ÷ 32768     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20417 ÷ 215
    20417 ÷ 32768     		y = 0.623077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.24615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.773318064670746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773318064670746))-π/2
    2×atan(0.461479306973993)-π/2
    2×0.432359008027106-π/2
    0.864718016054213-1.57079632675     		φ = -0.70607831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70607831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.455307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12480 KachelY 20417 -0.74858262 -0.70607831 -42.890625 -40.455307
    Oben rechts KachelX + 1 12481 KachelY 20417 -0.74839088 -0.70607831 -42.879639 -40.455307
    Unten links KachelX 12480 KachelY + 1 20418 -0.74858262 -0.70622420 -42.890625 -40.463666
    Unten rechts KachelX + 1 12481 KachelY + 1 20418 -0.74839088 -0.70622420 -42.879639 -40.463666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70607831--0.70622420) × R
    0.000145889999999982 × 6371000     		dl = 929.465189999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70607831--0.70622420) × R
    0.000145889999999982 × 6371000     		dr = 929.465189999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74839088) × cos(-0.70607831) × R
    0.000191739999999996 × 0.760912327755945 × 6371000     		do = 929.511887671105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74839088) × cos(-0.70622420) × R
    0.000191739999999996 × 0.760817658245638 × 6371000     		du = 929.39624171293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70607831)-sin(-0.70622420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760912327755945-0.760817658245638)×R²
    abs(-0.74839088--0.74858262)×9.46695103072326e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46695103072326e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46695103072326e-05×40589641000000     		ar = 863895.200367323m²