Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12480 / 4032
↖ ↑ ↗
← N 79.302640°
W 42.890625°		 ← 226.75 m → N 79.302640°
W 42.879639°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
N 79.300600°
W 42.890625°		 ← 226.79 m →
51 434 m²		 N 79.300600°
W 42.879639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380874633789062 y=0.123062133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380874633789062 × 215)
    floor (0.380874633789062 × 32768)
    floor (12480.5)     		tx = 12480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123062133789062 × 215)
    floor (0.123062133789062 × 32768)
    floor (4032.5)     		ty = 4032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12480 / 4032 ti = "15/12480/4032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12480/4032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12480 ÷ 215
    12480 ÷ 32768     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4032 ÷ 215
    4032 ÷ 32768     		y = 0.123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123046875 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36846633642773))-π/2
    2×atan(10.6809986576139)-π/2
    2×1.4774442468416-π/2
    2.9548884936832-1.57079632675     		φ = 1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12480 KachelY 4032 -0.74858262 1.38409217 -42.890625 79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 12481 KachelY 4032 -0.74839088 1.38409217 -42.879639 79.302640
    Unten links KachelX 12480 KachelY + 1 4033 -0.74858262 1.38405657 -42.890625 79.300600
    Unten rechts KachelX + 1 12481 KachelY + 1 4033 -0.74839088 1.38405657 -42.879639 79.300600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38409217-1.38405657) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dl = 226.807599999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38409217-1.38405657) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dr = 226.807599999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74839088) × cos(1.38409217) × R
    0.000191739999999996 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 226.750492437289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74839088) × cos(1.38405657) × R
    0.000191739999999996 × 0.18565632430601 × 6371000     		du = 226.793224618524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38409217)-sin(1.38405657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.18565632430601)×R²
    abs(-0.74839088--0.74858262)×3.49812024190987e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49812024190987e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49812024190987e-05×40589641000000     		ar = 51433.5809857422m²