Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12482 / 20674
↖ ↑ ↗
← S 42.569264°
W 42.868652°		 ← 899.69 m → S 42.569264°
W 42.857666°		 →
↑
899.65 m
↓
↑
899.65 m
↓
S 42.577355°
W 42.868652°		 ← 899.57 m →
809 351 m²		 S 42.577355°
W 42.857666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380935668945312 y=0.630935668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380935668945312 × 215)
    floor (0.380935668945312 × 32768)
    floor (12482.5)     		tx = 12482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630935668945312 × 215)
    floor (0.630935668945312 × 32768)
    floor (20674.5)     		ty = 20674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12482 / 20674 ti = "15/12482/20674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12482/20674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12482 ÷ 215
    12482 ÷ 32768     		x = 0.38092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20674 ÷ 215
    20674 ÷ 32768     		y = 0.63092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.2381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74819913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74819913} λ = -0.74819913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822597197480164))-π/2
    2×atan(0.439289250689057)-π/2
    2×0.413911251682756-π/2
    0.827822503365512-1.57079632675     		φ = -0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74819913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.868652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12482 KachelY 20674 -0.74819913 -0.74297382 -42.868652 -42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 12483 KachelY 20674 -0.74800738 -0.74297382 -42.857666 -42.569264
    Unten links KachelX 12482 KachelY + 1 20675 -0.74819913 -0.74311503 -42.868652 -42.577355
    Unten rechts KachelX + 1 12483 KachelY + 1 20675 -0.74800738 -0.74311503 -42.857666 -42.577355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74297382--0.74311503) × R
    0.000141210000000003 × 6371000     		dl = 899.648910000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74297382--0.74311503) × R
    0.000141210000000003 × 6371000     		dr = 899.648910000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74819913--0.74800738) × cos(-0.74297382) × R
    0.000191750000000046 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 899.688546441749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74819913--0.74800738) × cos(-0.74311503) × R
    0.000191750000000046 × 0.736364552223709 × 6371000     		du = 899.571839305373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74297382)-sin(-0.74311503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736364552223709)×R²
    abs(-0.74800738--0.74819913)×9.55332242114082e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55332242114082e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55332242114082e-05×40589641000000     		ar = 809351.323767029m²