Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12484 / 20420
↖ ↑ ↗
← S 40.480382°
W 42.846679°		 ← 929.16 m → S 40.480382°
W 42.835694°		 →
↑
929.15 m
↓
↑
929.15 m
↓
S 40.488738°
W 42.846679°		 ← 929.05 m →
863 277 m²		 S 40.488738°
W 42.835694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380996704101562 y=0.623184204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380996704101562 × 215)
    floor (0.380996704101562 × 32768)
    floor (12484.5)     		tx = 12484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623184204101562 × 215)
    floor (0.623184204101562 × 32768)
    floor (20420.5)     		ty = 20420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12484 / 20420 ti = "15/12484/20420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12484/20420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12484 ÷ 215
    12484 ÷ 32768     		x = 0.3809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20420 ÷ 215
    20420 ÷ 32768     		y = 0.6231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74781563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74781563} λ = -0.74781563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773893307466187))-π/2
    2×atan(0.46121392066551)-π/2
    2×0.432140194205539-π/2
    0.864280388411078-1.57079632675     		φ = -0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74781563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.846679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12484 KachelY 20420 -0.74781563 -0.70651594 -42.846679 -40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 12485 KachelY 20420 -0.74762389 -0.70651594 -42.835694 -40.480382
    Unten links KachelX 12484 KachelY + 1 20421 -0.74781563 -0.70666178 -42.846679 -40.488738
    Unten rechts KachelX + 1 12485 KachelY + 1 20421 -0.74762389 -0.70666178 -42.835694 -40.488738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70651594--0.70666178) × R
    0.000145840000000064 × 6371000     		dl = 929.146640000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70651594--0.70666178) × R
    0.000145840000000064 × 6371000     		dr = 929.146640000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74781563--0.74762389) × cos(-0.70651594) × R
    0.000191739999999996 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 929.164922176805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74781563--0.74762389) × cos(-0.70666178) × R
    0.000191739999999996 × 0.760533611000686 × 6371000     		du = 929.049256546293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70651594)-sin(-0.70666178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.760533611000686)×R²
    abs(-0.74762389--0.74781563)×9.46856143761998e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46856143761998e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46856143761998e-05×40589641000000     		ar = 863276.731810703m²