Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12488 / 20424
↖ ↑ ↗
← S 40.513799°
W 42.802734°		 ← 928.70 m → S 40.513799°
W 42.791748°		 →
↑
928.64 m
↓
↑
928.64 m
↓
S 40.522151°
W 42.802734°		 ← 928.59 m →
862 374 m²		 S 40.522151°
W 42.791748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381118774414062 y=0.623306274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381118774414062 × 215)
    floor (0.381118774414062 × 32768)
    floor (12488.5)     		tx = 12488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623306274414062 × 215)
    floor (0.623306274414062 × 32768)
    floor (20424.5)     		ty = 20424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12488 / 20424 ti = "15/12488/20424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12488/20424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12488 ÷ 215
    12488 ÷ 32768     		x = 0.381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20424 ÷ 215
    20424 ÷ 32768     		y = 0.623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74704864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.774660297860107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74704864} λ = -0.74704864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774660297860107))-π/2
    2×atan(0.46086030964428)-π/2
    2×0.431848569532256-π/2
    0.863697139064513-1.57079632675     		φ = -0.70709919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74704864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70709919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.513799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12488 KachelY 20424 -0.74704864 -0.70709919 -42.802734 -40.513799
    Oben rechts KachelX + 1 12489 KachelY 20424 -0.74685690 -0.70709919 -42.791748 -40.513799
    Unten links KachelX 12488 KachelY + 1 20425 -0.74704864 -0.70724495 -42.802734 -40.522151
    Unten rechts KachelX + 1 12489 KachelY + 1 20425 -0.74685690 -0.70724495 -42.791748 -40.522151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70709919--0.70724495) × R
    0.000145759999999995 × 6371000     		dl = 928.636959999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70709919--0.70724495) × R
    0.000145759999999995 × 6371000     		dr = 928.636959999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74704864--0.74685690) × cos(-0.70709919) × R
    0.000191739999999996 × 0.760249528568918 × 6371000     		do = 928.702228396301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74704864--0.74685690) × cos(-0.70724495) × R
    0.000191739999999996 × 0.760154830254097 × 6371000     		du = 928.586547251237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70709919)-sin(-0.70724495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760249528568918-0.760154830254097)×R²
    abs(-0.74685690--0.74704864)×9.46983148203406e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46983148203406e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46983148203406e-05×40589641000000     		ar = 862373.502756623m²