Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12488 / 20680
↖ ↑ ↗
← S 42.617791°
W 42.802734°		 ← 898.94 m → S 42.617791°
W 42.791748°		 →
↑
898.95 m
↓
↑
898.95 m
↓
S 42.625876°
W 42.802734°		 ← 898.82 m →
808 049 m²		 S 42.625876°
W 42.791748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381118774414062 y=0.631118774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381118774414062 × 215)
    floor (0.381118774414062 × 32768)
    floor (12488.5)     		tx = 12488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631118774414062 × 215)
    floor (0.631118774414062 × 32768)
    floor (20680.5)     		ty = 20680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12488 / 20680 ti = "15/12488/20680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12488/20680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12488 ÷ 215
    12488 ÷ 32768     		x = 0.381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20680 ÷ 215
    20680 ÷ 32768     		y = 0.631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74704864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823747683071045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74704864} λ = -0.74704864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823747683071045))-π/2
    2×atan(0.438784145349831)-π/2
    2×0.413487773190611-π/2
    0.826975546381222-1.57079632675     		φ = -0.74382078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74704864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74382078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.617791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12488 KachelY 20680 -0.74704864 -0.74382078 -42.802734 -42.617791
    Oben rechts KachelX + 1 12489 KachelY 20680 -0.74685690 -0.74382078 -42.791748 -42.617791
    Unten links KachelX 12488 KachelY + 1 20681 -0.74704864 -0.74396188 -42.802734 -42.625876
    Unten rechts KachelX + 1 12489 KachelY + 1 20681 -0.74685690 -0.74396188 -42.791748 -42.625876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74382078--0.74396188) × R
    0.000141100000000005 × 6371000     		dl = 898.948100000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74382078--0.74396188) × R
    0.000141100000000005 × 6371000     		dr = 898.948100000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74704864--0.74685690) × cos(-0.74382078) × R
    0.000191739999999996 × 0.735886869022593 × 6371000     		do = 898.941399405163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74704864--0.74685690) × cos(-0.74396188) × R
    0.000191739999999996 × 0.735791322251238 × 6371000     		du = 898.824681806351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74382078)-sin(-0.74396188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735886869022593-0.735791322251238)×R²
    abs(-0.74685690--0.74704864)×9.55467713547042e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55467713547042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55467713547042e-05×40589641000000     		ar = 808049.202815401m²