Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1250 / 226
↖ ↑ ↗
← N 80.118564°
E 39.726563°		 ← 3 354.28 m → N 80.118564°
E 39.902344°		 →
↑
3 359.36 m
↓
↑
3 359.36 m
↓
N 80.088352°
E 39.726563°		 ← 3 364.44 m →
11 285 313 m²		 N 80.088352°
E 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610595703125 y=0.110595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610595703125 × 211)
    floor (0.610595703125 × 2048)
    floor (1250.5)     		tx = 1250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110595703125 × 211)
    floor (0.110595703125 × 2048)
    floor (226.5)     		ty = 226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1250 / 226 ti = "11/1250/226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1250/226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1250 ÷ 211
    1250 ÷ 2048     		x = 0.6103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 226 ÷ 211
    226 ÷ 2048     		y = 0.1103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1103515625 × 2 - 1) × π
    0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69335932} λ = 0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44823333739551))-π/2
    2×atan(11.5678920939575)-π/2
    2×1.484564529219-π/2
    2.96912905843801-1.57079632675     		φ = 1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1250 KachelY 226 0.69335932 1.39833273 39.726563 80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 1251 KachelY 226 0.69642728 1.39833273 39.902344 80.118564
    Unten links KachelX 1250 KachelY + 1 227 0.69335932 1.39780544 39.726563 80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 1251 KachelY + 1 227 0.69642728 1.39780544 39.902344 80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39833273-1.39780544) × R
    0.000527289999999958 × 6371000     		dl = 3359.36458999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39833273-1.39780544) × R
    0.000527289999999958 × 6371000     		dr = 3359.36458999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69335932-0.69642728) × cos(1.39833273) × R
    0.00306795999999998 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 3354.28282529965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69335932-0.69642728) × cos(1.39780544) × R
    0.00306795999999998 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 3364.43585911263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39833273)-sin(1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.172129360435112)×R²
    abs(0.69642728-0.69335932)×0.000519443761120369×R²
    0.00306795999999998×0.000519443761120369×6371000²
    0.00306795999999998×0.000519443761120369×40589641000000     		ar = 11285313.0807713m²