Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12543 / 4351
↖ ↑ ↗
← N 78.632171°
W 42.198487°		 ← 240.79 m → N 78.632171°
W 42.187500°		 →
↑
240.82 m
↓
↑
240.82 m
↓
N 78.630006°
W 42.198487°		 ← 240.84 m →
57 994 m²		 N 78.630006°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382797241210938 y=0.132797241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382797241210938 × 215)
    floor (0.382797241210938 × 32768)
    floor (12543.5)     		tx = 12543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132797241210938 × 215)
    floor (0.132797241210938 × 32768)
    floor (4351.5)     		ty = 4351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12543 / 4351 ti = "15/12543/4351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12543/4351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12543 ÷ 215
    12543 ÷ 32768     		x = 0.382781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4351 ÷ 215
    4351 ÷ 32768     		y = 0.132781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.23443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73650253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132781982421875 × 2 - 1) × π
    0.73443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30729885251254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73650253} λ = -0.73650253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30729885251254))-π/2
    2×atan(10.0472488675974)-π/2
    2×1.47159330656327-π/2
    2.94318661312654-1.57079632675     		φ = 1.37239029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73650253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.198487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37239029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.632171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12543 KachelY 4351 -0.73650253 1.37239029 -42.198487 78.632171
    Oben rechts KachelX + 1 12544 KachelY 4351 -0.73631078 1.37239029 -42.187500 78.632171
    Unten links KachelX 12543 KachelY + 1 4352 -0.73650253 1.37235249 -42.198487 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 12544 KachelY + 1 4352 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37239029-1.37235249) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dl = 240.823800000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37239029-1.37235249) × R
    3.78000000000878e-05 × 6371000     		dr = 240.823800000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73650253--0.73631078) × cos(1.37239029) × R
    0.000191749999999935 × 0.197106889011556 × 6371000     		do = 240.793512061829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73650253--0.73631078) × cos(1.37235249) × R
    0.000191749999999935 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 240.838783934348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37239029)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197106889011556-0.197143947310492)×R²
    abs(-0.73631078--0.73650253)×3.7058298935716e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7058298935716e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7058298935716e-05×40589641000000     		ar = 57994.2598691676m²