Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12544 / 20736
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 42.187500°		 ← 892.45 m → S 43.068888°
W 42.176514°		 →
↑
892.39 m
↓
↑
892.39 m
↓
S 43.076913°
W 42.187500°		 ← 892.33 m →
796 356 m²		 S 43.076913°
W 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382827758789062 y=0.632827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382827758789062 × 215)
    floor (0.382827758789062 × 32768)
    floor (12544.5)     		tx = 12544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632827758789062 × 215)
    floor (0.632827758789062 × 32768)
    floor (20736.5)     		ty = 20736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12544 / 20736 ti = "15/12544/20736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12544/20736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12544 ÷ 215
    12544 ÷ 32768     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20736 ÷ 215
    20736 ÷ 32768     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12544 KachelY 20736 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 12545 KachelY 20736 -0.73611903 -0.75169390 -42.176514 -43.068888
    Unten links KachelX 12544 KachelY + 1 20737 -0.73631078 -0.75183397 -42.187500 -43.076913
    Unten rechts KachelX + 1 12545 KachelY + 1 20737 -0.73611903 -0.75183397 -42.176514 -43.076913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.75183397) × R
    0.000140069999999937 × 6371000     		dl = 892.385969999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.75183397) × R
    0.000140069999999937 × 6371000     		dr = 892.385969999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(-0.75169390) × R
    0.000191750000000046 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 892.448020548238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(-0.75183397) × R
    0.000191750000000046 × 0.730437534040237 × 6371000     		du = 892.331161256979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.75183397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730437534040237)×R²
    abs(-0.73611903--0.73631078)×9.56577739779085e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56577739779085e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56577739779085e-05×40589641000000     		ar = 796355.951997559m²