Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12544 / 20737
↖ ↑ ↗
← S 43.076913°
W 42.187500°		 ← 892.33 m → S 43.076913°
W 42.176514°		 →
↑
892.26 m
↓
↑
892.26 m
↓
S 43.084938°
W 42.187500°		 ← 892.21 m →
796 138 m²		 S 43.084938°
W 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382827758789062 y=0.632858276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382827758789062 × 215)
    floor (0.382827758789062 × 32768)
    floor (12544.5)     		tx = 12544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632858276367188 × 215)
    floor (0.632858276367188 × 32768)
    floor (20737.5)     		ty = 20737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12544 / 20737 ti = "15/12544/20737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12544/20737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12544 ÷ 215
    12544 ÷ 32768     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20737 ÷ 215
    20737 ÷ 32768     		y = 0.632843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834677296184418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834677296184418))-π/2
    2×atan(0.43401451697742)-π/2
    2×0.40948118058327-π/2
    0.818962361166539-1.57079632675     		φ = -0.75183397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75183397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.076913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12544 KachelY 20737 -0.73631078 -0.75183397 -42.187500 -43.076913
    Oben rechts KachelX + 1 12545 KachelY 20737 -0.73611903 -0.75183397 -42.176514 -43.076913
    Unten links KachelX 12544 KachelY + 1 20738 -0.73631078 -0.75197402 -42.187500 -43.084938
    Unten rechts KachelX + 1 12545 KachelY + 1 20738 -0.73611903 -0.75197402 -42.176514 -43.084938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75183397--0.75197402) × R
    0.000140050000000058 × 6371000     		dl = 892.258550000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75183397--0.75197402) × R
    0.000140050000000058 × 6371000     		dr = 892.258550000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(-0.75183397) × R
    0.000191750000000046 × 0.730437534040237 × 6371000     		do = 892.331161256979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(-0.75197402) × R
    0.000191750000000046 × 0.730341875597 × 6371000     		du = 892.214301148126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75183397)-sin(-0.75197402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730437534040237-0.730341875597)×R²
    abs(-0.73611903--0.73631078)×9.56584432375562e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56584432375562e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56584432375562e-05×40589641000000     		ar = 796137.974648628m²