Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12544 / 4352
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
W 42.187500°		 ← 240.84 m → N 78.630006°
W 42.176514°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
N 78.627839°
W 42.187500°		 ← 240.88 m →
58 021 m²		 N 78.627839°
W 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382827758789062 y=0.132827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382827758789062 × 215)
    floor (0.382827758789062 × 32768)
    floor (12544.5)     		tx = 12544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132827758789062 × 215)
    floor (0.132827758789062 × 32768)
    floor (4352.5)     		ty = 4352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12544 / 4352 ti = "15/12544/4352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12544/4352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12544 ÷ 215
    12544 ÷ 32768     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4352 ÷ 215
    4352 ÷ 32768     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12544 KachelY 4352 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 12545 KachelY 4352 -0.73611903 1.37235249 -42.176514 78.630006
    Unten links KachelX 12544 KachelY + 1 4353 -0.73631078 1.37231468 -42.187500 78.627839
    Unten rechts KachelX + 1 12545 KachelY + 1 4353 -0.73611903 1.37231468 -42.176514 78.627839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37231468) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37231468) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(1.37235249) × R
    0.000191750000000046 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 240.838783934487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73611903) × cos(1.37231468) × R
    0.000191750000000046 × 0.197181015131412 × 6371000     		du = 240.884067439434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37231468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197181015131412)×R²
    abs(-0.73611903--0.73631078)×3.7067820919473e-05×R²
    0.000191750000000046×3.7067820919473e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.7067820919473e-05×40589641000000     		ar = 58020.5090951995m²