Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12545 / 20735
↖ ↑ ↗
← S 43.060861°
W 42.176514°		 ← 892.56 m → S 43.060861°
W 42.165527°		 →
↑
892.51 m
↓
↑
892.51 m
↓
S 43.068888°
W 42.176514°		 ← 892.45 m →
796 574 m²		 S 43.068888°
W 42.165527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382858276367188 y=0.632797241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382858276367188 × 215)
    floor (0.382858276367188 × 32768)
    floor (12545.5)     		tx = 12545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632797241210938 × 215)
    floor (0.632797241210938 × 32768)
    floor (20735.5)     		ty = 20735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12545 / 20735 ti = "15/12545/20735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12545/20735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12545 ÷ 215
    12545 ÷ 32768     		x = 0.382843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20735 ÷ 215
    20735 ÷ 32768     		y = 0.632781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.23431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73611903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.26556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.834293800987457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73611903} λ = -0.73611903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834293800987457))-π/2
    2×atan(0.434180991379119)-π/2
    2×0.409621258568769-π/2
    0.819242517137539-1.57079632675     		φ = -0.75155381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73611903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.176514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75155381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.060861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12545 KachelY 20735 -0.73611903 -0.75155381 -42.176514 -43.060861
    Oben rechts KachelX + 1 12546 KachelY 20735 -0.73592728 -0.75155381 -42.165527 -43.060861
    Unten links KachelX 12545 KachelY + 1 20736 -0.73611903 -0.75169390 -42.176514 -43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 12546 KachelY + 1 20736 -0.73592728 -0.75169390 -42.165527 -43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75155381--0.75169390) × R
    0.000140090000000037 × 6371000     		dl = 892.513390000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75155381--0.75169390) × R
    0.000140090000000037 × 6371000     		dr = 892.513390000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73611903--0.73592728) × cos(-0.75155381) × R
    0.000191750000000046 × 0.730628848910917 × 6371000     		do = 892.564879012111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73611903--0.73592728) × cos(-0.75169390) × R
    0.000191750000000046 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 892.448020548238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75155381)-sin(-0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730628848910917-0.730533191814215)×R²
    abs(-0.73592728--0.73611903)×9.56570967023396e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56570967023396e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56570967023396e-05×40589641000000     		ar = 796573.958392998m²