Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12545 / 28927
↖ ↑ ↗
← S 79.685217°
W 42.176514°		 ← 218.74 m → S 79.685217°
W 42.165527°		 →
↑
218.78 m
↓
↑
218.78 m
↓
S 79.687184°
W 42.176514°		 ← 218.70 m →
47 852 m²		 S 79.687184°
W 42.165527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382858276367188 y=0.882797241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382858276367188 × 215)
    floor (0.382858276367188 × 32768)
    floor (12545.5)     		tx = 12545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882797241210938 × 215)
    floor (0.882797241210938 × 32768)
    floor (28927.5)     		ty = 28927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12545 / 28927 ti = "15/12545/28927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12545/28927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12545 ÷ 215
    12545 ÷ 32768     		x = 0.382843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28927 ÷ 215
    28927 ÷ 32768     		y = 0.882781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.23431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73611903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.76556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40509012773746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73611903} λ = -0.73611903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40509012773746))-π/2
    2×atan(0.0902573605514972)-π/2
    2×0.0900134609996306-π/2
    0.180026921999261-1.57079632675     		φ = -1.39076940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73611903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.176514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39076940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.685217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12545 KachelY 28927 -0.73611903 -1.39076940 -42.176514 -79.685217
    Oben rechts KachelX + 1 12546 KachelY 28927 -0.73592728 -1.39076940 -42.165527 -79.685217
    Unten links KachelX 12545 KachelY + 1 28928 -0.73611903 -1.39080374 -42.176514 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 12546 KachelY + 1 28928 -0.73592728 -1.39080374 -42.165527 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39076940--1.39080374) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dl = 218.780140000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39076940--1.39080374) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dr = 218.780140000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73611903--0.73592728) × cos(-1.39076940) × R
    0.000191750000000046 × 0.179056065118244 × 6371000     		do = 218.741917099056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73611903--0.73592728) × cos(-1.39080374) × R
    0.000191750000000046 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 218.70064385522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39076940)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179056065118244-0.179022279985821)×R²
    abs(-0.73592728--0.73611903)×3.3785132423525e-05×R²
    0.000191750000000046×3.3785132423525e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.3785132423525e-05×40589641000000     		ar = 47851.8723687266m²