Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12545 / 4353
↖ ↑ ↗
← N 64.158531°
E 95.646973°		 ← 1 064.98 m → N 64.158531°
E 95.668945°		 →
↑
1 065.17 m
↓
↑
1 065.17 m
↓
N 64.148952°
E 95.646973°		 ← 1 065.35 m →
1 134 581 m²		 N 64.148952°
E 95.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765716552734375 y=0.265716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765716552734375 × 214)
    floor (0.765716552734375 × 16384)
    floor (12545.5)     		tx = 12545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265716552734375 × 214)
    floor (0.265716552734375 × 16384)
    floor (4353.5)     		ty = 4353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12545 / 4353 ti = "14/12545/4353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12545/4353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12545 ÷ 214
    12545 ÷ 16384     		x = 0.76568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4353 ÷ 214
    4353 ÷ 16384     		y = 0.26568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    0.5313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66935459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26568603515625 × 2 - 1) × π
    0.4686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47223806113116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66935459} λ = 1.66935459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47223806113116))-π/2
    2×atan(4.35897989579309)-π/2
    2×1.34528696843797-π/2
    2.69057393687595-1.57079632675     		φ = 1.11977761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66935459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11977761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.158531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12545 KachelY 4353 1.66935459 1.11977761 95.646973 64.158531
    Oben rechts KachelX + 1 12546 KachelY 4353 1.66973809 1.11977761 95.668945 64.158531
    Unten links KachelX 12545 KachelY + 1 4354 1.66935459 1.11961042 95.646973 64.148952
    Unten rechts KachelX + 1 12546 KachelY + 1 4354 1.66973809 1.11961042 95.668945 64.148952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11977761-1.11961042) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dl = 1065.1674899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11977761-1.11961042) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dr = 1065.1674899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66935459-1.66973809) × cos(1.11977761) × R
    0.000383500000000092 × 0.435882608838556 × 6371000     		do = 1064.98260669941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66935459-1.66973809) × cos(1.11961042) × R
    0.000383500000000092 × 0.436033074335782 × 6371000     		du = 1065.35023581377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11977761)-sin(1.11961042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435882608838556-0.436033074335782)×R²
    abs(1.66973809-1.66935459)×0.000150465497225416×R²
    0.000383500000000092×0.000150465497225416×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150465497225416×40589641000000     		ar = 1134580.64600388m²