Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12546 / 12546
↖ ↑ ↗
← S 68.672544°
E 95.668945°		 ← 888.59 m → S 68.672544°
E 95.690918°		 →
↑
888.44 m
↓
↑
888.44 m
↓
S 68.680533°
E 95.668945°		 ← 888.27 m →
789 316 m²		 S 68.680533°
E 95.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765777587890625 y=0.765777587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765777587890625 × 214)
    floor (0.765777587890625 × 16384)
    floor (12546.5)     		tx = 12546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765777587890625 × 214)
    floor (0.765777587890625 × 16384)
    floor (12546.5)     		ty = 12546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12546 / 12546 ti = "14/12546/12546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12546/12546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12546 ÷ 214
    12546 ÷ 16384     		x = 0.7657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12546 ÷ 214
    12546 ÷ 16384     		y = 0.7657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66973809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66973809} λ = 1.66973809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6697380875658))-π/2
    2×atan(0.188296376343201)-π/2
    2×0.1861171684842-π/2
    0.372234336968399-1.57079632675     		φ = -1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66973809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12546 KachelY 12546 1.66973809 -1.19856199 95.668945 -68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 12547 KachelY 12546 1.67012158 -1.19856199 95.690918 -68.672544
    Unten links KachelX 12546 KachelY + 1 12547 1.66973809 -1.19870144 95.668945 -68.680533
    Unten rechts KachelX + 1 12547 KachelY + 1 12547 1.67012158 -1.19870144 95.690918 -68.680533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19856199--1.19870144) × R
    0.000139450000000041 × 6371000     		dl = 888.435950000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19856199--1.19870144) × R
    0.000139450000000041 × 6371000     		dr = 888.435950000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66973809-1.67012158) × cos(-1.19856199) × R
    0.000383489999999931 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 888.591504164829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66973809-1.67012158) × cos(-1.19870144) × R
    0.000383489999999931 × 0.363567757297697 × 6371000     		du = 888.274121796703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19856199)-sin(-1.19870144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363567757297697)×R²
    abs(1.67012158-1.66973809)×0.000129903588266256×R²
    0.000383489999999931×0.000129903588266256×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129903588266256×40589641000000     		ar = 789315.651490719m²