Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12546 / 20738
↖ ↑ ↗
← S 43.084938°
W 42.165527°		 ← 892.17 m → S 43.084938°
W 42.154541°		 →
↑
892.13 m
↓
↑
892.13 m
↓
S 43.092961°
W 42.165527°		 ← 892.05 m →
795 879 m²		 S 43.092961°
W 42.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382888793945312 y=0.632888793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382888793945312 × 215)
    floor (0.382888793945312 × 32768)
    floor (12546.5)     		tx = 12546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632888793945312 × 215)
    floor (0.632888793945312 × 32768)
    floor (20738.5)     		ty = 20738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12546 / 20738 ti = "15/12546/20738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12546/20738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12546 ÷ 215
    12546 ÷ 32768     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20738 ÷ 215
    20738 ÷ 32768     		y = 0.63287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.834869043782898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834869043782898))-π/2
    2×atan(0.433931303714311)-π/2
    2×0.409411155347058-π/2
    0.818822310694115-1.57079632675     		φ = -0.75197402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75197402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.084938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12546 KachelY 20738 -0.73592728 -0.75197402 -42.165527 -43.084938
    Oben rechts KachelX + 1 12547 KachelY 20738 -0.73573554 -0.75197402 -42.154541 -43.084938
    Unten links KachelX 12546 KachelY + 1 20739 -0.73592728 -0.75211405 -42.165527 -43.092961
    Unten rechts KachelX + 1 12547 KachelY + 1 20739 -0.73573554 -0.75211405 -42.154541 -43.092961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75197402--0.75211405) × R
    0.000140029999999958 × 6371000     		dl = 892.13112999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75197402--0.75211405) × R
    0.000140029999999958 × 6371000     		dr = 892.13112999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73573554) × cos(-0.75197402) × R
    0.000191739999999996 × 0.730341875597 × 6371000     		do = 892.167771066998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73573554) × cos(-0.75211405) × R
    0.000191739999999996 × 0.730246216492516 × 6371000     		du = 892.050916244783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75197402)-sin(-0.75211405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730341875597-0.730246216492516)×R²
    abs(-0.73573554--0.73592728)×9.56591044835031e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56591044835031e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56591044835031e-05×40589641000000     		ar = 795878.518139442m²