Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12548 / 12548
↖ ↑ ↗
← S 68.688520°
E 95.712891°		 ← 887.96 m → S 68.688520°
E 95.734863°		 →
↑
887.80 m
↓
↑
887.80 m
↓
S 68.696505°
E 95.712891°		 ← 887.64 m →
788 186 m²		 S 68.696505°
E 95.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765899658203125 y=0.765899658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765899658203125 × 214)
    floor (0.765899658203125 × 16384)
    floor (12548.5)     		tx = 12548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765899658203125 × 214)
    floor (0.765899658203125 × 16384)
    floor (12548.5)     		ty = 12548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12548 / 12548 ti = "14/12548/12548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12548/12548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12548 ÷ 214
    12548 ÷ 16384     		x = 0.765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12548 ÷ 214
    12548 ÷ 16384     		y = 0.765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765869140625 × 2 - 1) × π
    0.53173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67050508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.53173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67050507795972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67050508} λ = 1.67050508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67050507795972))-π/2
    2×atan(0.188152010202135)-π/2
    2×0.185977741993429-π/2
    0.371955483986858-1.57079632675     		φ = -1.19884084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67050508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19884084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.688520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12548 KachelY 12548 1.67050508 -1.19884084 95.712891 -68.688520
    Oben rechts KachelX + 1 12549 KachelY 12548 1.67088857 -1.19884084 95.734863 -68.688520
    Unten links KachelX 12548 KachelY + 1 12549 1.67050508 -1.19898019 95.712891 -68.696505
    Unten rechts KachelX + 1 12549 KachelY + 1 12549 1.67088857 -1.19898019 95.734863 -68.696505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19884084--1.19898019) × R
    0.000139349999999983 × 6371000     		dl = 887.798849999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19884084--1.19898019) × R
    0.000139349999999983 × 6371000     		dr = 887.798849999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67050508-1.67088857) × cos(-1.19884084) × R
    0.000383489999999931 × 0.363437893220304 × 6371000     		do = 887.956835962127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67050508-1.67088857) × cos(-1.19898019) × R
    0.000383489999999931 × 0.363308068663909 × 6371000     		du = 887.639646685838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19884084)-sin(-1.19898019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363437893220304-0.363308068663909)×R²
    abs(1.67088857-1.67050508)×0.000129824556395097×R²
    0.000383489999999931×0.000129824556395097×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129824556395097×40589641000000     		ar = 788186.258953392m²