Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12552 / 20728
↖ ↑ ↗
← S 43.004647°
W 42.099610°		 ← 893.38 m → S 43.004647°
W 42.088623°		 →
↑
893.28 m
↓
↑
893.28 m
↓
S 43.012681°
W 42.099610°		 ← 893.27 m →
797 987 m²		 S 43.012681°
W 42.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383071899414062 y=0.632583618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383071899414062 × 215)
    floor (0.383071899414062 × 32768)
    floor (12552.5)     		tx = 12552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632583618164062 × 215)
    floor (0.632583618164062 × 32768)
    floor (20728.5)     		ty = 20728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12552 / 20728 ti = "15/12552/20728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12552/20728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12552 ÷ 215
    12552 ÷ 32768     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20728 ÷ 215
    20728 ÷ 32768     		y = 0.632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832951567798096))-π/2
    2×atan(0.434764154799034)-π/2
    2×0.410111820386986-π/2
    0.820223640773972-1.57079632675     		φ = -0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12552 KachelY 20728 -0.73477680 -0.75057269 -42.099610 -43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 12553 KachelY 20728 -0.73458505 -0.75057269 -42.088623 -43.004647
    Unten links KachelX 12552 KachelY + 1 20729 -0.73477680 -0.75071290 -42.099610 -43.012681
    Unten rechts KachelX + 1 12553 KachelY + 1 20729 -0.73458505 -0.75071290 -42.088623 -43.012681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75057269--0.75071290) × R
    0.000140209999999974 × 6371000     		dl = 893.277909999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75057269--0.75071290) × R
    0.000140209999999974 × 6371000     		dr = 893.277909999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73458505) × cos(-0.75057269) × R
    0.000191750000000046 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 893.382805943271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73458505) × cos(-0.75071290) × R
    0.000191750000000046 × 0.731202742711166 × 6371000     		du = 893.265970203826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75057269)-sin(-0.75071290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.731202742711166)×R²
    abs(-0.73458505--0.73477680)×9.56384951164013e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56384951164013e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56384951164013e-05×40589641000000     		ar = 797986.943637738m²