Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12552 / 20743
↖ ↑ ↗
← S 43.125043°
W 42.099610°		 ← 891.63 m → S 43.125043°
W 42.088623°		 →
↑
891.56 m
↓
↑
891.56 m
↓
S 43.133061°
W 42.099610°		 ← 891.51 m →
794 888 m²		 S 43.133061°
W 42.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383071899414062 y=0.633041381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383071899414062 × 215)
    floor (0.383071899414062 × 32768)
    floor (12552.5)     		tx = 12552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633041381835938 × 215)
    floor (0.633041381835938 × 32768)
    floor (20743.5)     		ty = 20743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12552 / 20743 ti = "15/12552/20743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12552/20743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12552 ÷ 215
    12552 ÷ 32768     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20743 ÷ 215
    20743 ÷ 32768     		y = 0.633026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.26605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.835827781775299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835827781775299))-π/2
    2×atan(0.4335154766538)-π/2
    2×0.409061166738248-π/2
    0.818122333476497-1.57079632675     		φ = -0.75267399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75267399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.125043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12552 KachelY 20743 -0.73477680 -0.75267399 -42.099610 -43.125043
    Oben rechts KachelX + 1 12553 KachelY 20743 -0.73458505 -0.75267399 -42.088623 -43.125043
    Unten links KachelX 12552 KachelY + 1 20744 -0.73477680 -0.75281393 -42.099610 -43.133061
    Unten rechts KachelX + 1 12553 KachelY + 1 20744 -0.73458505 -0.75281393 -42.088623 -43.133061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75267399--0.75281393) × R
    0.00013993999999995 × 6371000     		dl = 891.557739999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75267399--0.75281393) × R
    0.00013993999999995 × 6371000     		dr = 891.557739999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73458505) × cos(-0.75267399) × R
    0.000191750000000046 × 0.729863559950463 × 6371000     		do = 891.629971980427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73458505) × cos(-0.75281393) × R
    0.000191750000000046 × 0.729767890820886 × 6371000     		du = 891.513098816723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75267399)-sin(-0.75281393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729863559950463-0.729767890820886)×R²
    abs(-0.73458505--0.73477680)×9.56691295769252e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56691295769252e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56691295769252e-05×40589641000000     		ar = 794887.504445784m²