Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12559 / 20753
↖ ↑ ↗
← S 43.205176°
W 42.022705°		 ← 890.41 m → S 43.205176°
W 42.011719°		 →
↑
890.41 m
↓
↑
890.41 m
↓
S 43.213183°
W 42.022705°		 ← 890.30 m →
792 783 m²		 S 43.213183°
W 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383285522460938 y=0.633346557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383285522460938 × 215)
    floor (0.383285522460938 × 32768)
    floor (12559.5)     		tx = 12559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633346557617188 × 215)
    floor (0.633346557617188 × 32768)
    floor (20753.5)     		ty = 20753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12559 / 20753 ti = "15/12559/20753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12559/20753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12559 ÷ 215
    12559 ÷ 32768     		x = 0.383270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20753 ÷ 215
    20753 ÷ 32768     		y = 0.633331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383270263671875 × 2 - 1) × π
    -0.23345947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73343456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.26666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837745257760101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73343456} λ = -0.73343456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837745257760101))-π/2
    2×atan(0.432685017585383)-π/2
    2×0.408361877449263-π/2
    0.816723754898527-1.57079632675     		φ = -0.75407257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73343456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.022705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75407257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.205176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12559 KachelY 20753 -0.73343456 -0.75407257 -42.022705 -43.205176
    Oben rechts KachelX + 1 12560 KachelY 20753 -0.73324282 -0.75407257 -42.011719 -43.205176
    Unten links KachelX 12559 KachelY + 1 20754 -0.73343456 -0.75421233 -42.022705 -43.213183
    Unten rechts KachelX + 1 12560 KachelY + 1 20754 -0.73324282 -0.75421233 -42.011719 -43.213183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75407257--0.75421233) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dl = 890.410959999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75407257--0.75421233) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dr = 890.410959999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73343456--0.73324282) × cos(-0.75407257) × R
    0.000191739999999996 × 0.728906787158781 × 6371000     		do = 890.414702133133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73343456--0.73324282) × cos(-0.75421233) × R
    0.000191739999999996 × 0.728811098533943 × 6371000     		du = 890.297811249575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75407257)-sin(-0.75421233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728906787158781-0.728811098533943)×R²
    abs(-0.73324282--0.73343456)×9.56886248382194e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56886248382194e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56886248382194e-05×40589641000000     		ar = 792782.970552621m²