Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12560 / 20720
↖ ↑ ↗
← S 42.940339°
W 42.011719°		 ← 894.32 m → S 42.940339°
W 42.000732°		 →
↑
894.23 m
↓
↑
894.23 m
↓
S 42.948381°
W 42.011719°		 ← 894.20 m →
799 676 m²		 S 42.948381°
W 42.000732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383316040039062 y=0.632339477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383316040039062 × 215)
    floor (0.383316040039062 × 32768)
    floor (12560.5)     		tx = 12560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632339477539062 × 215)
    floor (0.632339477539062 × 32768)
    floor (20720.5)     		ty = 20720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12560 / 20720 ti = "15/12560/20720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12560/20720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12560 ÷ 215
    12560 ÷ 32768     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20720 ÷ 215
    20720 ÷ 32768     		y = 0.63232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831417587010254))-π/2
    2×atan(0.43543158644252)-π/2
    2×0.41067301263106-π/2
    0.821346025262119-1.57079632675     		φ = -0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12560 KachelY 20720 -0.73324282 -0.74945030 -42.011719 -42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 12561 KachelY 20720 -0.73305107 -0.74945030 -42.000732 -42.940339
    Unten links KachelX 12560 KachelY + 1 20721 -0.73324282 -0.74959066 -42.011719 -42.948381
    Unten rechts KachelX + 1 12561 KachelY + 1 20721 -0.73305107 -0.74959066 -42.000732 -42.948381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74945030--0.74959066) × R
    0.000140359999999951 × 6371000     		dl = 894.233559999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74945030--0.74959066) × R
    0.000140359999999951 × 6371000     		dr = 894.233559999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73305107) × cos(-0.74945030) × R
    0.000191749999999935 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 894.317450282118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73305107) × cos(-0.74959066) × R
    0.000191749999999935 × 0.731967829575444 × 6371000     		du = 894.20063034637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74945030)-sin(-0.74959066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.731967829575444)×R²
    abs(-0.73305107--0.73324282)×9.56255586486154e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56255586486154e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56255586486154e-05×40589641000000     		ar = 799676.446494857m²