Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12575 / 20767
↖ ↑ ↗
← S 43.317185°
W 41.846924°		 ← 888.78 m → S 43.317185°
W 41.835938°		 →
↑
888.75 m
↓
↑
888.75 m
↓
S 43.325178°
W 41.846924°		 ← 888.66 m →
789 854 m²		 S 43.325178°
W 41.835938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383773803710938 y=0.633773803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383773803710938 × 215)
    floor (0.383773803710938 × 32768)
    floor (12575.5)     		tx = 12575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633773803710938 × 215)
    floor (0.633773803710938 × 32768)
    floor (20767.5)     		ty = 20767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12575 / 20767 ti = "15/12575/20767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12575/20767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12575 ÷ 215
    12575 ÷ 32768     		x = 0.383758544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20767 ÷ 215
    20767 ÷ 32768     		y = 0.633758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73036660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.840429724138824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73036660} λ = -0.73036660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840429724138824))-π/2
    2×atan(0.431525046850913)-π/2
    2×0.407384413669381-π/2
    0.814768827338761-1.57079632675     		φ = -0.75602750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73036660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.846924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75602750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.317185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12575 KachelY 20767 -0.73036660 -0.75602750 -41.846924 -43.317185
    Oben rechts KachelX + 1 12576 KachelY 20767 -0.73017486 -0.75602750 -41.835938 -43.317185
    Unten links KachelX 12575 KachelY + 1 20768 -0.73036660 -0.75616700 -41.846924 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 12576 KachelY + 1 20768 -0.73017486 -0.75616700 -41.835938 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75602750--0.75616700) × R
    0.00013950000000007 × 6371000     		dl = 888.754500000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75602750--0.75616700) × R
    0.00013950000000007 × 6371000     		dr = 888.754500000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73036660--0.73017486) × cos(-0.75602750) × R
    0.000191739999999996 × 0.727567024760958 × 6371000     		do = 888.778081158541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73036660--0.73017486) × cos(-0.75616700) × R
    0.000191739999999996 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 888.661165158563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75602750)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727567024760958-0.727471315575443)×R²
    abs(-0.73017486--0.73036660)×9.57091855150471e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57091855150471e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57091855150471e-05×40589641000000     		ar = 789853.565601715m²