Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12576 / 20769
S 43.333169°
W 41.835938°
← 888.59 m → S 43.333169°
W 41.824951°

888.50 m

888.50 m
S 43.341160°
W 41.835938°
← 888.47 m →
789 460 m²
S 43.341160°
W 41.824951°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383804321289062 y=0.633834838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383804321289062 × 215)
    floor (0.383804321289062 × 32768)
    floor (12576.5)
    tx = 12576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633834838867188 × 215)
    floor (0.633834838867188 × 32768)
    floor (20769.5)
    ty = 20769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12576 / 20769 ti = "15/12576/20769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12576/20769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12576 ÷ 215
    12576 ÷ 32768
    x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20769 ÷ 215
    20769 ÷ 32768
    y = 0.633819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535
    Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.633819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.26763916015625 × 3.1415926535
    Φ = -0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840813219335785))-π/2
    2×atan(0.431359590795907)-π/2
    2×0.407244922791641-π/2
    0.814489845583283-1.57079632675
    φ = -0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12576 KachelY 20769 -0.73017486 -0.75630648 -41.835938 -43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 12577 KachelY 20769 -0.72998311 -0.75630648 -41.824951 -43.333169
    Unten links KachelX 12576 KachelY + 1 20770 -0.73017486 -0.75644594 -41.835938 -43.341160
    Unten rechts KachelX + 1 12577 KachelY + 1 20770 -0.72998311 -0.75644594 -41.824951 -43.341160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.75630648--0.75644594) × R
    0.00013945999999998 × 6371000
    dl = 888.499659999874m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.75630648--0.75644594) × R
    0.00013945999999998 × 6371000
    dr = 888.499659999874m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72998311) × cos(-0.75630648) × R
    0.000191749999999935 × 0.727375605957945 × 6371000
    do = 888.590589730459m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72998311) × cos(-0.75644594) × R
    0.000191749999999935 × 0.727279895916415 × 6371000
    du = 888.473666587107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.75630648)-sin(-0.75644594))×
    abs(λ12)×abs(0.727375605957945-0.727279895916415)×
    abs(-0.72998311--0.73017486)×9.57100415300838e-05×
    0.000191749999999935×9.57100415300838e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57100415300838e-05×40589641000000
    ar = 789460.495047887m²