Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12576 / 21280
↖ ↑ ↗
← S 47.279229°
W 41.835938°		 ← 828.79 m → S 47.279229°
W 41.824951°		 →
↑
828.74 m
↓
↑
828.74 m
↓
S 47.286682°
W 41.835938°		 ← 828.68 m →
686 804 m²		 S 47.286682°
W 41.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383804321289062 y=0.649429321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383804321289062 × 215)
    floor (0.383804321289062 × 32768)
    floor (12576.5)     		tx = 12576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649429321289062 × 215)
    floor (0.649429321289062 × 32768)
    floor (21280.5)     		ty = 21280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12576 / 21280 ti = "15/12576/21280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12576/21280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12576 ÷ 215
    12576 ÷ 32768     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21280 ÷ 215
    21280 ÷ 32768     		y = 0.6494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93879624215918))-π/2
    2×atan(0.391098339808072)-π/2
    2×0.372809056456923-π/2
    0.745618112913845-1.57079632675     		φ = -0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12576 KachelY 21280 -0.73017486 -0.82517821 -41.835938 -47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 12577 KachelY 21280 -0.72998311 -0.82517821 -41.824951 -47.279229
    Unten links KachelX 12576 KachelY + 1 21281 -0.73017486 -0.82530829 -41.835938 -47.286682
    Unten rechts KachelX + 1 12577 KachelY + 1 21281 -0.72998311 -0.82530829 -41.824951 -47.286682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82517821--0.82530829) × R
    0.000130080000000032 × 6371000     		dl = 828.739680000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82517821--0.82530829) × R
    0.000130080000000032 × 6371000     		dr = 828.739680000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.72998311) × cos(-0.82517821) × R
    0.000191749999999935 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 828.791892232766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.72998311) × cos(-0.82530829) × R
    0.000191749999999935 × 0.678330479645687 × 6371000     		du = 828.675138406217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82517821)-sin(-0.82530829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678330479645687)×R²
    abs(-0.72998311--0.73017486)×9.55714434925925e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55714434925925e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55714434925925e-05×40589641000000     		ar = 686804.349259796m²