Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12578 / 20770
↖ ↑ ↗
← S 43.341160°
W 41.813965°		 ← 888.47 m → S 43.341160°
W 41.802978°		 →
↑
888.44 m
↓
↑
888.44 m
↓
S 43.349150°
W 41.813965°		 ← 888.36 m →
789 300 m²		 S 43.349150°
W 41.802978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383865356445312 y=0.633865356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383865356445312 × 215)
    floor (0.383865356445312 × 32768)
    floor (12578.5)     		tx = 12578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633865356445312 × 215)
    floor (0.633865356445312 × 32768)
    floor (20770.5)     		ty = 20770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12578 / 20770 ti = "15/12578/20770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12578/20770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12578 ÷ 215
    12578 ÷ 32768     		x = 0.38385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20770 ÷ 215
    20770 ÷ 32768     		y = 0.63385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72979136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.841004966934265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72979136} λ = -0.72979136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841004966934265))-π/2
    2×atan(0.431276886559713)-π/2
    2×0.407175191117044-π/2
    0.814350382234087-1.57079632675     		φ = -0.75644594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72979136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.813965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75644594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.341160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12578 KachelY 20770 -0.72979136 -0.75644594 -41.813965 -43.341160
    Oben rechts KachelX + 1 12579 KachelY 20770 -0.72959961 -0.75644594 -41.802978 -43.341160
    Unten links KachelX 12578 KachelY + 1 20771 -0.72979136 -0.75658539 -41.813965 -43.349150
    Unten rechts KachelX + 1 12579 KachelY + 1 20771 -0.72959961 -0.75658539 -41.802978 -43.349150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75644594--0.75658539) × R
    0.000139450000000041 × 6371000     		dl = 888.435950000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75644594--0.75658539) × R
    0.000139450000000041 × 6371000     		dr = 888.435950000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72979136--0.72959961) × cos(-0.75644594) × R
    0.000191750000000046 × 0.727279895916415 × 6371000     		do = 888.473666587621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72979136--0.72959961) × cos(-0.75658539) × R
    0.000191750000000046 × 0.727184178594376 × 6371000     		du = 888.356734550113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75644594)-sin(-0.75658539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727279895916415-0.727184178594376)×R²
    abs(-0.72959961--0.72979136)×9.57173220395013e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57173220395013e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57173220395013e-05×40589641000000     		ar = 789300.003991145m²